REMARQUES SUR LA RÉSOLVANTE

La présence de € dans À et B entraîne, pour les coefficients de

l'équation, la forme complexe à + 1$ V23, 4 et $ étant des nombres

Last, à: k SNS Re DONNE EL 5 Pots os A4 ET à

entiers. Or nous connaissons. l'existence d’une racine {, purement imaginaire. Il est donc naturel de prévoir, pour l’équation, la forme

(33) iVai(ati+ Br)+ y +5 —

où 4, B, y, 0 seront des nombres entiers. Je donnerai, dansuninstant, la preuve véritable de cette propriété. Ce qui importe le plus, c’est de savoir à quelles fonctions elliptiques singulières se rapportent les autres racines {.

D'après les éléments de la théorie des formes, 1l y a, outre (2, 1, 12), deux autres formes réduites, dans l’ordre improprement primitif, de déterminant — 23. Ce sont les formes (4, 1, 6) et (4, — 1, 6). Envisageons d’abord la première, que nous distinguerons en affectant de l'indice 1 les éléments correspondants. Il s’agit donc des fonctions

elliptiques pour lesquelles on à

wi = / se (34) | EU = Wi+ 204, EU = — 301, (OP Le o 1 + 3:

L’argument à de la formule (8) est 101 + 3w1. On formera, comme précédemment, l'équation supplémentaire, en ) P ) q PP d prenant uw — w,, ce qui donne aussi 9 — w,. Les lettres a et b auront les significations suivantes :

A Di + =.0—= pit —= Hu: ).

1 P1 TETE. 1 mi 3 ) Moyennant ces conventions, on voit immédiatement qu'on obtient les mêmes équations que précédemment, sauf remplacement de e, e', e” ! 1!

paré Ce Notre équation du troisième degré à done une racine 4, définie par les égalités

€ l € I Fe 1 1 (35) Nip er ie ne el | €: 2 €ï 2

Cette racine est complexe et nous verrons même, ultérieurement, que l’on peut assigner, d'avance, son expression en fonction de la racine précédente 4. |

Semblablement, la forme (4, — 1, 6) donne lieu à se fonctions

Ce LEA

elliptiques caractérisées par les relations

/ £ 109 — Wo OU ere SR — iV33,