GO

! G (36) { EW9o — 2», E9 = — 5 09 + uw; ! / G)9 Do — 209 O9 L — = ——— ; a oe € 6 € 2

L'argument & est w:— 20. On obtient l'équation complémentaire ,, ce qui donne » = w. Les lettres a et b ont les

significations suivantes :

f203—4% 0 W9 — 20" 2 —= Po RE — , G— P2 ee A7 LU

en prenant LED

et l’on retrouve les équations primitives, sauf remplacement de e, e’, e” par e,, €», e,. Notre équation du troisième degré a donc la racine 4, définie par les égalités

e2 I e', I (37) =—-—+t, DE ei nor À €, D e, 2

En comparant Les fonctions d'indice 2 et celles d'indice 1, on voit que les rapports des périodes, au signe près, ce qui est indifférent, y sont imaginaires conjugués. Les invariants absolus sont donc aussi des imaginaires conjuguées et 1l est manifeste que les deux rapports e, ! e’ el e, : e, sont dans ce cas. Ainsi £, et — {, sont des imaginaires conju-

guées. Nous rappelant ce qui a été dit précédemment sur la première . . . , LA Ld racine {, nous pouvons conclure que les trois quantités . fournies par

les trois racines {, sont l’une réelle et positive, les deux autres imaginaires conjuguées. Par là est pleinement justifiée la forme (33), prévue pour léquation.

Voici encore un autre moyen de trouver ce même résultat. Comme on l’a vu par l'égalité (14), une même fonction elliptique admet à la fois les deux multiphcateurs & et 1 — € et, pour tous deux, le nombre N n'a qu'une seule valeur. On peut donc former l'équation tout aussi bien en se servant du second multiplicateur et l’on reconnaîtra qu’il y a simplement échange entre e' ete". Parle changement de e en 1 —e; c’est-à-dire par le changement du signe de iV23, la racine € se change en — t; il en est de même pour les autres racines. Cette circonstance exige la forme (33) de l’équation cherchée.

Pour une même fonction singulière, lés deux AlHBeuenrs conJugués, s et — € dans le cas del RTE NC primitif, e et —(1— €) dans l’autre cas, coexistent toujours. Ge fait général, conséquence de l'égalité (14), explique, de nouveau, pourquoi deux formes opposées, comme (4,1, 6)et (4, —1,6) donnent lieu à des invariants conJugués, avec celte conséquence, bien connue, que les invariants réels proviennent des formes 4mbiguës, comme (2, 1, 12), c’est-à-dire des formes proprement équivalentes à leurs opposées.

Une dernière observation avant de calculer notre équation. Si l’on ne savait déjà, par la théorie des formes, que l’ordre improprement primitif contient, en tout, trois classes pour le déterminant — 23, le degré 3 de l'équation nous le ferait connaître. Il est évident, en effet, que, s’il existait d’autres classes, le même calcul sy appliquerait, entraînant seulement quelque permutation dans les accents de e, e’, e”. Ces classes fourniraient donc nécessairement des racines de la même équation. |