ONE V

3° Calcul du terme en t. — Pour ce calcul, on doit prendre RE ALAN e"—=— #, La 4 tt Voici le calcul :

22A —(2—22)4, 2,9.9B—=—(927 ile)?

24 A? Pia oct )r2 12.3 BBA He) (32,49 22.31e1)63, — 26A2(AÀ +oe')—=(22.5.43 + 283e?)43,

26,3. SU — 7.19(36 + 1762) 43 — LE iÿ 28 (17 +5iV25) 6.

At4 OEUVRES DE G.-H. HALPHEN.

Suivant la notation (38), voici donc le terme en {* dans V : V —922.7.195V236%+....-

4° Calcul du terme indépendant de t. — On doit prendre

RARES I CRC Rien 2 = + 22À = —9—e?, 23,5B —=— 197 —11e?.

On trouve alors 23(A + 3e) ——-14 — E?, 238(A + 92e’) =— 10 — =<?, 26 A? D Te,

2tee"À — 2+e?, DU 2 OUI0 DT) 2 (17 + 5iy23).

Le dernier térmé de V est ainsi — 33.

Le premier et Le dernier terme ont bien la forme prévue; de plus,

suivant (39), les deux valeurs V, et V' qui correspondent à 4 = + ;

sont conjuguées. En conséquence, V a la forme

V = gip23(23.19— 264) + Dans, > | et les égalités (39) donnent DES M 0 LT

L’équation cherchée est donc enfin

(40) V(t)=0o= 7iy23(23.1943— 2.32.7t) + 3(22.315 2 — 32).

; I ME LES TROIS MULTIPLICATIONS PAR ï (x QUE DO Pour résoudre l'équation (40), le changement d'inconnue, qu s'offre d’abord, est indiqué par Pégalité

D CA (41) | 3 V23t=—i, par où l'équation devient

Pour la réduire à trois termes, on posera

: J (43) NA ET 2 > Ci \ x dy ® ce qui mène à | équation finale (44) 23 2x8 — 3,53x — 7.23 — 0.

Comme on le verra plus loin, 1l y a des raisons de savoir d’avance que la racine carrée du discriminant de l'équation doit contenir £ÿ23 comme seule irrationalité. Il en est bien ainsi; car, R étant le discri-

minant, on a, pour l’équation (44),

Soient

PRE IN RP EL Ne Semen en à (45) g= 1 Las vas + 25v5, | = (/ 2305 — 155

des racines cubiques prises dans le sens arithmétique el pour les-

quelles on à

La racine réelle de (44) est

TX =

Les deux autres x, et x, s'en déduisent comme on sait : pour la première, on remplace £ et h par 0g et 02}; pour l’autre, par 822 et 62, et Ü est une des racines cubiques imaginaires de l'unité. Afin que les indices 1 et 2 correspondent à ceux qui ont été adoptés plus haut pour t, il y aura lieu de préciser 4. Je le ferai plus loin, et, dans les formules ci-après, je suppose, par avance, le résultat.

En posant donc

F 72/23 + 25 (g te h) 0, NE ed che —1+1V5 (46) 4 7223 +o5(0g + 02h)= c1, PS ea D Le V23 + 25(022+0h) = C2,

on pourra exprimer, par une même formule, chaque racine t en foncuon de la racine correspondante c. Les quantités e, e’, e”. dont l’une est arbitraire et dont la somme est nulle, sont déterminées par la condition |

En vertu de lhomogénéité, le choix arbitraire de e est indifférent. Je prendrai donc (47) e20 e'=gi—c, e"=—9git—0c, pour le cas de l'égalité (20), ou, en d’autres termes, pour la forme

(2, 1, 12); puis, en permutant les accents comme il a été expliqué et comme le rappellent les égalités (35) et (37), on aura

(48) Ej = ou = 9Ji— C1, Ej=—9t— C4,

dans le cas de légalité (34), correspondant à la forme (4, 1, 6); puis

enfin

(49) NA RC E3= Qi — Co, Ey = — JÙ— C2,

pour le cas de l'égalité (56), correspondant à la forme (4, — 1, 6). Ces permutations des accents se rapportent seulement à la désigna-

üuon arbitrairement uniforme, des périodes dans les trois cas. Elle disparaît dans l'expression des invariants, que voici :

g2= 27.3(C?— 3%), ÉPOUSER);

A gi—27g8gi—=—026.3(c2+ 3); 43 2h 53 es Se F(c2— 33h ci(e+3r) 38(c2+ 32)

Je vais, dès maintenant, fixer le signe de la partie imaginaire dans 0. On verra, plus loin, un moyen purement algébrique pour cet objet.

Quant à présent, je vais employ er les séries 3, formées uniformément ir U)!

avec la quantité JE Bee En posant He