EXEMPLE

Die à (As;coss0 + B,sins6).

ER DROITS 0 PCT EN Hdi ra

A NE à à LE Ya

mA AE

Les divers nombres s sont supposés commensurables. En les rédui- : sant à leur plus petit commun dénominateur q, et posant 0 = gw, on mettra l'expression de r sous la forme

r = Acospe + B sinpw + A'cosp'o + B'sinp'w +...= f(w),

où p,p',... sont entiers et positifs. La lettre p désignera le plus erand de ces nombres. |

Le raisonnement employé dans le précédent exemple s'applique encore 1e1 pour reconnaître la catégorie à laquelle appartient l’équation. Ce sera la seconde catégorie si l’on peut avoir en même temps

(2k4—1)p =(2h+1)g, (24—1p'=(2h+1)g, Ste

et ceci a lieu seulement quand tous les nombres g, p, p', ... sont impairs. On a aussi d — q.

Pour des valeurs déterminées de 4, nous avons des cycles I ou HIT. Ces derniers interviennent seuls dans les formules que nous appliquons. Ils correspondent aux racines de f(w) —=o, dont la somme des ordres de multiplicité est égale à 2 p. Pour chacune de ces racines, le nombre désigné par b est l’umité, et le nombre désigné par @ est l’ordre de multiplicité. Ges racines sont, bien entendu, prises à des multiples près de 27. La caractéristique cé sera égale au nombre de ces racines. Pour qu'il n'y ait aucun doute à cet égard, nous appellerons N le nombre des racines, distinctes entre elles et différentes de zéro, que possède l'équation

Nous aurons ainsi $”= N, &”— 2p. Le nombre N, on le voit aisément, est toujours pair quand Fe coefficients sont réels, |

En remplaçant cos pw, sinpw, ... par leurs expressions en À, nous avons le développement de r suivant les puissances croissantes de À,

PA r=h 9 Lol.

C’est un cycle IV dans lequel 4 = — p, 8 = g, si toutefois p et g sont inégaux. Pour p << gq, c’est le cas IV (2); pour p > g, c’est le cas IV (3). Enfin, pour p — g, nous avons un cycle V : le nombre a n’est

sous la forme

pas mis en évidence, mais le nombre b est toujours égal à à q.

Appliquant les formules (8), (9), (9 bris), nous trouvons pour ces divers cas le résultat qui suit : la classe de Ja courbe est le plus grand des deux nombres 2 p+N ou 29+ N; son degré est 2(p + q). La classe et le degré se réduisent de moitié si tous les nombres 9, p, p', -.. sont impairs.

Dans cet exemple encore, au cas où l’équation est de la seconde catégorie, le nombre o est égal à 2 pour les cycles répondant à À infiniment petit.

ExempLe 3 :

rk = cosk0.

Le nombre Æ est commensurable, positif ou négatif. S'il est positif, nous poserons # — 1 ; s’il est négatif, 4 — — ., entre eux. ; L.

Soit d’abord # — T. En écrivant l’équation sous la forme

24 S ss

on aperçoit immédiatement qu’elle est de seconde catégorie dans le cas seulement où s est impair. Pour abréger, traitons à la fois les deux cas en désignant par e le nombre 1 ou 2 suivant que s est pair ou impair. | | Les cycles [ correspondent aux valeurs de 4, qui n’annulent pas cos kÆ0,. Il n’y a pas de cycles IT. Les cycles IT répondent à cos #8, —0. 2q

On les obtient donc en faisant 1H À* — 0, ce qui donne, pour 4, 2q valeurs si s est impair, g seulement si s est pair. D’après notre convention, ces valeurs de À sont en nombre eg. Pour chacune d’elles, ann eye LL dns lequel, DE ÿ:bDoncat= cos, De.

Pour À infiniment petit, nous avons des cycles V, dont chacun

x d r % 2 : ÿ ? e S = A “répond à une détermination différente de la puissance = du binôme

2q | (, + XS ). Le nombre de ces cycles est donc g. On a d’ailleurs, pour * . , . S .

BbaoU deux, d 077 DSL $'est 1mpalr: a —=,q) b — 5 S1s est

; Ne : LES GA S pair. C’est ce qu’on exprime à la fois ainsi : a —eq, b —e-. Nous

avons donc

REG Frs

q et s étant premiers

Les formules (8) et (9 bis), où nous remplacerons, conformément à la conclusion du n° 15, u et m par eu et em, nous donnent

EM = Eg?+EgSs, Em = E€qS +Eegs.

On voit que € disparaît et que le résultat est simplement celui-ci : Quand le nombre k est positif etRe pol Eela fraction irréduc-

tible 1, le degré de la courbe est 2qs, sa classe qg(q +s).

Soit, en second lieu, & — — TL. La distinction des deux catégories se fait, comme précédemment, par la parité de s. Les racines de er . s cos 4 donnent ici des cycles I ou IT suivant que 2 est plus grand ou

plus petit que l'unité. En raisonnant comme dans le cas précédent, nous trouvons &'—egs, $"—<q? pour s<7 g. Au contraire, pour s> q, les cycles Il n'existent pas.

Suivant les puissances croissantes de À, on a

4 24 S Nues 2 en (En...)

Les cycles appartiennent à la catégorie VI ou VII suivant que g est inférieur ou supérieur HAS

q <S5, &a—=E€g, DE es, avi € g?, Bu =

g>s, a=e(y—is), b= es, an = <q(q—5s), pu eg.

C’est aussi pour g > s que nous venons de trouver

GREEK AN De qe Nous avons ainsi :

Pour q es | FE eq egs, EM =EgS;, Pour g < s | Pa EN

EM = Eqs.

Par conséquent, le nombre Kk étant négatif et égal à la fraction

trréductible — 7, le degré de la courbe est gs; sa classe est

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES. 23 qg(q—s) ou 2q(s—q), suivant que q est supérieur ou inférieur RER

Cet exemple donne lieu à une vérification fort intéressante. Par rapport à un cercle de rayon 1, concentrique à l’origine, la courbe proposée a pour polaire réciproque une courbe de même équation, sauf changement de k en #' :

= Er, 1= O.

k k La connaissance du degré entraîne donc immédiatement celle de la classe. En faisant le calcul par ce moyen, on retrouve les résultats

ci-dessus.

17. Soit m un point quelconque d’une courbe GC, et soit mm, la tangente de C au point »m. En un point fixe O, on élève la perpendiculaire Om, au rayon vecteur Om, et l’on prend le point d’intersection de Om, avec la tangente mm,. Ce point m, engendre une courbe C,, que nous appellerons la tangentielle de C, relative au point O. |

Nous allons, comme seconde conséquence de l'étude faite aux n® 12 et 13, conclure les singularités de G,, connaissant celles de la courbe C. En appelant r, et Ü,-les coordonnées polaires de m, par rapport à O, r et Ü étant celles de m, on a

T I 6 — =) — 0, Goo) 1 ir LT «6

Ainsi, sauf une rotation de 00°, la courbe C, se déduit de C-par le , 90 ; I

changement de = en sa dérivée.

Examinons successivement les diverses catégories de cycles qui peuvent exister sur d, pour en conclure les cycles correspondants sur CG. :

Parmi les cycles 1, ceux dans lesquels le développement de : ne con-

() En écrivant l'équation sous la forme r—*coskÆ0 —1, on passe aux coordonnées rectangulaires ainsi : (æ+iy)} f+(æm—iy) =». Suivant une dénomination empruntée à M. de la Gournerie, la courbe est triangulaire symétrique. Les résultats Ci-dessus s'accordent avec ceux qu’a établis, d'une autre manière, M. de la Gournerie, dans l’ouvrage intitulé Sur Les surfaces réglées tétraédrales sy métriques.

" f : : : Le tuent aucun exposant fractonnaire donnent lieu pour — - à des cycles I

présentant le même caractère. C’est notamment ce qui à LS pour les valeurs tout à fait arbitraires de 8,. |

En second lieu, ceux des cycles I, où le premier exposant fractionnaire est supérieur à 2, donnent, pour C,, encore des cycles I.

Enfin ceux où le premier exposant est inférieur à 2 donnent, pour C,, des cycles IF. Soit 1 + - un quelconque de ces exposants. Conformément aux notations précédemment employées, nous poserons di — 2di, Bi—20,.

Il ya ainsk, pour Gr, de nouveaux cycles Il, pour lesquels les éléments analogues à &’ et $" sont «, et f".

Les Sub Il de L donnent, pour Gi, des Fe. IT, dont les éléments analogues à &” et 8” sont f”— «° et f5”.

Les HA HI de C ut leur caractère pour C;; mais les éléments sont «+ 9" et 87.

Les deux caractéristiques totales des cycles IIF de GC, sont donc 4”+ $7+ f"— 4" et + Da

Pour l'étude des cycles qui répondent à À infiniment petit, transformons la formule (10) en celle-ci :

. I ; - v e . . « Si = est développé suivant les puissances croissantes de À, on en

r s r I . déduira le développement de —- au moyen de cette formule. Il est

visible que les coefficients seuls sont modifiés, les exposants restent inaltérés. Il n’y a d'exception que pour le terme indépendant de À, s’il existe : ce terme disparaît dans le développement de D’après cette remarque, nous concluons immédiatement que les cycles IV (1), IV (3), Vet VIT relativement à r, donnent lieu respectivement à des cycles de même catégorie relativement à r,. En outre, pour les trois premiers cas, on aperçoit de suite que les nombres caractéristiques se conservent. Pour le cas des cycles VIT, le même fait a lieu, comme nous allons le prouver.

Les nombres caractéristiques des cycles VIT ont été définis ainsi :

ayant r=AX+BA3+...,

on forme la combinaison

Ç r N ER 24 | Bra—A(S—A)= 0 RSR

dont le développement commence par un terme de degré supérieur x 2 . (22 x , à 2 Soit 2 + 5 cet exposant; On à par là le nombre a, b étant déjà

connu. Ceci revient à dire que les trois premiers termes du dévelop-

I = pement de - sont les suivants :

on en conclut immédiatement

a I I B a\ G.1+- A Cp = De ri AÀ A? b ; d’où la preuve du résultat annoncé.

Nous avons mis à part les cycles IV (2)et les cycles VI. Les premiers se conservent, avec leurs caractéristiques, sauf au cas a — 0.

Dans ce cas spécial, envisageons le second terme du développement

de r :

on en conclura

I I B SR nt RS RE RE ITA : 7 fs A2 à I ce B er 0 RER Te 4 LE b A? se ib A2. —5 D dr dns

De là, pour r,, un cycle qui appartient à la catégorie IV (3) c > D, à la catégorie V si c — b, à la catégorie IV (2) si c << b. Mais, en ce dernier cas, le premier exposant de r,, pour ce nouveau cycle IV (2), n’est pas nul. Nous désignerons par y la somme des nombres, tels que c, relatifs aux divers cycles IV (2), pour chacun desquels : 1° & est nul, 2° c est inférieur à b. On voit que, dans le passage de Ca C,, la caractéristique 4} se change en 4}—7. Quant aux deux autres

- cas € > b, ils n'intérviendront pas dans l’application que nous ferons

des formules (8), (9), (9 bis) à la courbe C,; effectivement les

cycles IV (2), IV (3), et V n’y figurent que par leurs caractéristiques $, et cette dernière se conserve ici.

Les cycles VI sont caractérisés par le développement

D AE D EME rer (ab); on entire :

CESR B Dis TA TT A? D I I a B LA ep 0-5)x

Le cycle se conserve donc, avec ses caractéristiques, sauf au cas a — b. Pour ce cas spécial, il convient de prendre un terme de plus dans les développements, et d'écrire