I . 72 L k' — 5» ces quantités sont les suivantes

d1+ 20 wl Cr Vera, AT mere = pa + os);

et les « ont les arguments doubles. Les formules ci-dessus montrent suffisamment que le changement du signe de # change a et b en a'et b, a, et b, en a, et b,, a et b: en a’ et b:.

Les six quantités b, D’, b,, b°, b2, b, servent de base à des transformations du sixième ordre, deux pour chaque fonction elliptique, et ces transformations changent la fonction en elle-même.

Les quantités a, a!, ... peuvent servir de base à des transformations du troisième ordre. Ces dernières échangent les fonctions les unes

dans les autres, comme je vais le montrer.

Désignant par 2 un facteur inconnu, posons

oo = 30), GO = — W!.

Les relations (11) ! !

20) + © 120) + .y— PR RS t) ü)

se changent en les suivantes

d’où l’on voit que le facteur 9 peut être choisi effectivement de manière à attribuer la même signification que précédemment aux lettres w, et w,. J'ai ici une transformation du troisième ordre, qui se figure par la relation,

20) 2 0° 24" 0? pa(pu)=pu+plu——— |) +plur —)—2p—.

3 3 3 En prenant successivement uw = w’, &, w”, j'obtiens

ne 20 pe, =e +—2plo———]—2a,

S ' ma=e+aplu—T) — 24.

et l’on remarquera, en passant, que, par addition de ces trois égahités, se prouve, derechef, la relation (29 a). De là, suivant les égalités (0 et (51), je conclus

péee= e —2ÀA =—;-ee (e —e'})(e 7) prés Je JU ; & = €

! (4 e—e)(ée—e p'e,= €" + DUR D ee ) #

eee) (ba) | (a—e)(b—e)

prier ee) —e

et cette dernière, comme on l’a vu plus haut, se change ainsi :

(e— e") A a+b+e+oA n2 Sr e EUOUÉ NO Er EE us e = \e CR TE ON EN p?(e 2) ppt le! ( ) HN D el

Remettant, pour À, son expression (31), j'ai enfin 4 | LA I 9 ) e"(a+b+oe +-ee

PANNE (ere er (a por e) ; C'est là une formule qui donne la quantité c, en fonction rationnelle de c, avec adjonction de e, bien entendu. Disons, pour abréger, que nous avons ainsi (TOUVÉ Co — p(C).

Par un calcul tout pareil, en posant successivement

wi) &, PM — 0 — 0, Cat} = Dh +204, : Do We = — W4 + 1, on trouve aussi C —w(Ci), C1 = p(Ca). En changeant le signe de &, on

aurait les analogues C1 = Y(C), c— Ÿ(c), Ca Y(ci).

Ces formules traduisent le caractère abélien, qui appartient, comme on le sait, à toutes les équations dont dépendent les fonctions elliptiques à multiplication complexe. Elles donnent la raison a priori de ce fait que le discriminant de l'équation est un carré, sauf le facteur — 23. À