D [SI
(5 su 123). à
l'expression, que je cherche, de s en fonction rationnelle de £. On peut urer encore de l'égalité (52) deux autres équations du premier degré entre M et N par le moyen suivant. Elle donne immédiatement
D'ailleurs
S'ist} IS R PRAN RP) dd 1— 26 nd SH va Sat Us 3%
Pour revenir de l’équation (56) à léquation en 4, il faut chasser l’irrationnelle s. On a donc identiquement
où À est un facteur constant, $ et € étant deux variables liées par la
d'CR
fn DT RARES
relation
En différentiant, je conclus
Rs Hs) 1 VC ee 6s BÉREE(CS eee
puis, en prenant $ — 24,
TE F'(or) !: F'(—20) à ÿ () F2) IP CS EAN
vf)
Far)
La connaissance des deux quantités FC 1)
procure les deux équa-
uons du premier degré dont j'ai parlé. Mecontentant d’avoir indiqué ce
moyen, je vais en employer un autre, encore fondé sur la relation (58).
OX
-> On à l’équation — $<
Substituant dans V(4) l'expression { — £ 59203 pe 08. 157524 25.99 — 2.71 23(75t— 22.552— 24,3) — 0, dont le premier membre doit reproduire | —F(s)F(—s)= (5 + M} [Ns2+ 02(5 — 35423) l°.
De là deux équations
(59) 2 M — N?—=— 2(3+ 72:23), (60) M? 25 (7 — 35023 )N =— 29 (157 — 7 123) = 22(7 UUR ÉgREEt ES
Entre cette dernière et l’équation (53) éliminant N. ; J obtiens ke M?+ 8M = »5.35ÿ23(7— 31123), équation du second degré donnant les deux racines
M=—4—+o2(3.7 + iÿ23).
Une seule convient, que l’on distingue immédiatement comme devant,
par l'équation (59), fournir, pour N?, un carré parfait. On trouve
ainsi M = 2 (19 +:ÿ93), N—17+ 3:23, E(s)= ss 175 Lo 195 22.7 = 1/23(352 25 — 22.8):
tel est le premier membre de l'équation cherchée.
Si, de même, on pose
2+3 è 24 +3 à 209 + 3 ; — =5$, —— = $;, — =$,, t 71 de
ces quantités sont les racines de l’équation ®(s') = 0, dont le premier
membre est conjugué du précédent, P(s')=s8— 17524 9.19s — 22,7 +iÿ23(352— 05 92,3),
Par là sont exprimés, comme on le voulait, s et s'en fonction de #. On
a, en effet, Ns2+ 22(7— 3:23) ———
4 sd ’ \ DE 4 FER 5 x égalité où l’on mettra, au second membre, Por la place de s?.
Ÿ à 2É + 3, Pour s', on prendra la relation analogue où l’on mettra Nm la
place de s”?.
C’est en vue d’effectuer complètement les trois dernières transformations du second ordre que j'ai calculé F et D. J’arrive à ces transformations.
LEs rRoIS FONCTIONS DE L'ORDRE PROPREMENT PRIMITIF. Aux périodes 2Q, 2Q, définies par les relations (50), ro — 2.0) rw'= Q'—Q,
correspond une nouvelle fonction Pw, dont je dénote les éléments par des lettres majuscules. La transformation conduit, par le même calcul que plus haut, à la relation suivante, analogue de l'égalité (51),
e—e')(e—e") {E—E D, VLe rente X = FE” Re Le premier membre est, en valeur absolue, égal à
VS 21) (5 ot),
quantité réelle, puisque 4 est purement imaginaire. D’après la nature de la fonction P, dont les invariants doivent être réels et le discriminant positif, les trois quantités E, E”, E’ doivent être réelles, rangées ainsi en ordre décroissant; de plus, le rapport Q”’: :Q étant supérieur
à l'unité, E” est négauf, et l’on aura
EE nel sara (62) pre E Vo — ft ütss';
le signe est ainsi choisi, parce que s et s sont des quantités conjueuées, comme il résulte du calcul précédent, et que ét est réel et négatif.
Ayant obtenu s et s’ en fonction rationnelle de {, nous avons donc, sous la même forme, les éléments nouveaux. Mais il faut réduire leur expression à la forme la plus simple, et, pour ce but, je vais exprimer tss
par une fraction du premier degré. Soit
Pen H SS = — G la fracuion cherchée. Ayant mis la relation (61) et son analogue sous
la forme
ae Fu FEAT A A LE me on conclura que l'égalité CODEN ES LTD CUT
a lieu en vertu de l'équation NE Dale premier membre est donc
ANNE 1 RU US divisible par V, et doit avoir la forme TTC De là, £SS'G — KV a) SN
ce qui doit être une identité. Il s’agit donc de trouver les deux polynômes du premier degré G et K par la condition que le numérateur soit seulement du troisième degré au lieu du quatrième, qu’il soit en outre divisible par TT. Le quotient, du premier degré, sera le binôme H.
En substituant dans l'égalité (61), on a d’abord
= 4[Ns2+ »2(9— 35ÿ23)] = 2.316 — 3.179 — 3(24+ 3)i923, T=t(s+M)= 923.56 3 +oity93, SP 0 1 3202 1/23;
T'= 93.564 3 oity23, V=(2t—3)T?2—1S2=—(21+3)T?2+ 7:87,
RENE LE Éd MES EN Vo PET CEX UF TORRES US PAL 2 CADRE . Ur ve F * y V2 Ÿ P2n
Pour T—%;, 0on.a amsi
V—=— 15; on doit donc avoir | (64) RESTO ROSE DEN di LL) et, semblablement, CRUE SG CES 0 Aie TU)
Au moyen des égalités PU MEET
on peut exprimerS et 5’, sous forme linéaire et homogène, en T et T':; on trouve ainsi | Sr: (ir rrVos) Timo ts |/23)T",
SE 532053 TEE Crres 1923) T'.:
Par là, les deux conditions (64) et (63) deviennent (11— iÿ23)G—2(3+:ÿ23)K=o (div. T), (u1+5ÿ23)G+2(3—1iÿ3)K=o. (div. T)..
S1 donc on pose G=YT+YT, K=4T+AT", on obtient les conditions
(ire 123 )y — 2(3+ 23) =0,
(ir+ iÿ23)y + 2(3 — 193) 4 —0.
En exprimant enfin que le terme du quatrième degré disparaît dans le r à ce É $ numérateur (63), on trouve la dernière équation
25.73 | (20 + 1ÿ23)y + (50 — 1123) y'| — 7.196ÿ23 | (0 + iÿ23)k + (50e 1V23)k'|.
Les équations précédentes fournissent 2k=(5—7iy23)y, o5k= (5 +Jiy23)+.
Substituant dans la dernière et prenant arbitrairement un coefficient
de proportionnalité, je trouve
td (3 6:08), == (—34114+5:)33),
k= 2(5 — 2123), kK'=2(5+oiy23), ?
SUR LA MULTIPLICATION COMPLEXE DANS LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.' 429 d’où résulte GS 32 11-07 100 /23, K = 23(2.736+ 3:93).
Il reste à trouver H. A cet effet, je prends £ — = ce qui donne
V ——15S?, et, par conséquent,
TT'H = =S(S'G+SK).
: 5 Pour i—= 5? nous avons
S'G + SK = 24.32(485Lr1.172ÿ/23).
D'autre part, TE 31933) (5 133) (3 + ias), Toi) = 2 (55193) (3 + ir), TT (ui 55923) (3 + ia), Ps = (75590) = À (3+ V3).
Il vient donc
Rare 5iÿ23)H = 0% ,32(48111.172V23) ou finalement Us
H— 53,32(7.11+ 5ÿ23), (de =):
Le changement du signe de £ et de 4/23 laisse inaltérés V et G, change K en — K, échange T et — T', ainsi que S et ——S"; ce changement a donc pour effet de reproduire H, changé de signe. On a donc aussi
MA 3 H = —23.32(7.11+5ÿ23), ( =—;).
Par conséquent, pour £ quelconque, EE 3(2.7 .116— 3iV23).
Comme vérification de ce calcul, prenons {= 0, ce qui donne
— KV =03,31y23, |
