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Nous obtenons ainsi, pour y, l'équation

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qui, étant développée, se réduit à

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C’est l'équation donnée, par le R. P. Joubert, dans les Comptes rendus de 1860 (1° semestre, p. 912). Sa résolution suffit, bien entendu, pour définir explicitement les fonctions cherchées, puisque linvariant absolu est rationnel en &, D'une manière générale, pour toute fonction elliptique, on a |

CES A m2) SAT.

DEA C4 30 PACE y),

en désignant par o un coefficient d’homogénéité, dont l'expression est

… SVri+éy 9e

APE ON DREN et

Ce coefficient p peut être pris ad libitum; aussi les invariants sont-ils définis par la seule quantité y, ou par £?. Mais, pour avoir les quantités e, e!, e”, sans nouvelle irrationnelle, il faut connaître &.

Semblablement, à l’égard des trois fonctions répondant à l’ordre proprement primitif, la connaissance de y suffit aussi pour définir les invariants. Effectivement, en prenant la transformation du second ordre qui fait passer de p à P, ainsi que la transformation inverse, on a les deux relations

a Een 28 rs 2 (AE Sr LV Étr ENerSOTneter Fr] Fra à MA 2 TE de EN SN QE O7 CTP — T'AS + LOU LA CNT AL NE TA 2 e E” E e

et, en posant encore (E"— KE) (E"— E') (EE)

Y — on en déduit la relation, bien connue, JOYN = Prenant maintenant les formules (50), y mettant des lettres majuscules,

. 5 : I au leu de 92, ga, J, --., puis remplaçant Y par y el y par son

expression en fonction de c?, on trouve

AA = 36 (24 9); le coefficient À a l'expression suivante :

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