DIVISION DES PERIODES ELLIPTIQUES PAR
Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 108, 1889, p. 476.
D'après un théorème énoncé dans la lettre testamentare de Galois (1832), 1l existe, pour la transformation des fonctions elliptiques, des résolvantes d’un degré égal à l’ordre de la transformation, quand cet ordre est 5, 5 ou 11. Dans un mémoire célèbre, publié aux Comptes rendus de 1858 (!), M. Hermite a montré comment on peut obtenir de telles résolvantes et en a calculé une, du cinquième degré, source de mémorables travaux, que je n'ai pas à rappeler 1c1. Peu après, en 1859, M. Hermite a effectivement calculé une résolvante du septième degré, qu'il a fait connaître par une lettre à M. Brioschi, publiée dans les Annali di Matematica (p. 60) (?). Plus récemment, en 1879, M. Félix Klein et M. Brioschi ont obtenu cette même résolvante par des moyens très différents (Mathematische Annalen, t. XIV, p. 425, ett. XV, p. 249) (%); enfin, M. Félix Klein a donné deux résolvantes du onzième degré (cbid., t. XV, p. 543) qui complètent brillamment les recherches provoquées par le théorème de Galois.
À la partie de cette belle théorie qui concerne la transformation du septième ordre, je voudrais apporter aujourd’hui-un très modeste appoint, en indiquant une nouvelle résolvante, d’une grande simplicité.
La voici :
DEEE (+ (T—1)= 10.
C’est à cette équation que l'on peut réduire le problème de la trans-
(1) [Œuvres d’Hermite, t. 1, p.22] COS TLIT. LED TEA (*) [ Brioschi, Opere mathematiche, t: V, p. 225
Le Lee
; A vtr ù EN 1 nn es Al HÉRUT € POELE SE L ALT NP ER
formation du septième ordre, ou le problème équivalentd e la division des périodes elliptiques par 3. La constante & est liée à l’invariant absolu J = £° : A par la simple relation
26W—ii oeTin
Il me faut dire quelles sont les racines de cette résolvante. Soit 26 une période quelconque et'soit posé
an / y VA = (p25-pis) (pfä—pia) (p25— po).
Cette quantité y est racine d'une équation du huitième degré,
RE J —: TPE OMS EE IONEEAT NEE pe
qui a été employée déjà par M. Brioschi et par M. Kiepert. Les diverses racines proviennent des diverses valeurs que l’on peut assigner à ©. Soient 26 et 20w/ une paire de périodes, arbitrairement choisie; on distingue, d'habitude, par l’indice æ la racine y qui correspond à & —w, et par l'indice n — 0, 1, ..., 6 la racine qui correspond à & — w' + nw. C’est en prenant
x? — = Ve) ar) —Ys)(i—ys)
que l’on obtient la résolvante donnée plus haut.
ML T DAS Ca dt td. PPS ESS LS RARES SENS EE RSS NUS PCT APE PTT a” “ii + x veu e L . ss i ’ fé :
SUR LES
Journal de Mathématiques pures et appliquees, 4° série, t..6,:1890, p.217,
Voici d’abord une formule qui sera très utile.
Soit y une fonction d’une variable indépendante, par rapport à laquelle on prend les dérivées, dénotées par des accents. On a successivement
2yy" =(y1) —2ÿ, | 2YY" —— (y2)" ie. 3(7'?), NME NUS 0 ee LUS LI) Ve = A
| >YY = (2), (1)
Dans ces formules apparaissent les mêmes coefficients numériques que dans les suivantes :
2Cos4 —=(2cos«), 2 COS24 = (2C0S4)?— 2, 2 c0s34 — (2 cosa)? — 3(2cos2),
2cos{a = (2cosa)*— 4(2 cos æ )? + D:
D'une manière générale, on a, comme on sait,
n 2 cos na = (2COSa )? — a (2:c0s a )r51
(2 cos a)? — Lar RER TE
On aura de même
(2) 2770 ze (y? )(2) = . (y'2)—2)
Je n(n—3)
Mo \(n—k) __ oi) 25:50
La démonstration, sur laquelle je ne crois pas utile d’insister,
résulte immédiatement des deux formules comparées
2cos(n +i)æ —(2cosx)2cosna—2cos(n —1)a,
Dans cette dernière, le second terme du second membre s'exprime au moyen de la formule (2), où l’on change y en y’ et r en (n — 1).
Par le changement de y en y’ ou y”, y”, ... la formule (2) permet, comme on le voit, d'exprimer tout produit de deux figures y, y, Y', ... par les carrés et les dérivées de ces carrés.
Une expression U, contenant une ou plusieurs indéterminées comme y, fonction, laissée arbitraire, de la variable indépendante, est dite dérivée exacte s’il existe une autre expression V, contenant les mêmes indéterminées, et dont la dérivée V” reproduise exactement U. Ainsi, par les formules (1), on voit que yy', yy" sont des dérivées exactes, tandis que y", J:y" n’en sont pas. Et généralement, dans la formule (2), on voit que yy est, ou non, une dérivée exacte, suivant que 7 est impair où pair.
Dans ce qui va suivre, nous emplorerons le signe = pour exprimer une égalité dans laquelle on néglige des dérivées exactes. Par exemple, d’après la formule (2), où l’on suppose 7 pair, on déduit en retenant seulement le dernier terme, dont le coefficient est égal à 2,
(3) HA Er VAR RO tandis que, si z2 est impair, on conclut
15 bis) FyRmrt) = O.
Soit & une autre fonction quelconque de la même variable indé-
pendante.
Prenons l'identité, base de l'intégration par parues,
| ay\m) + (— 1) 1 yaUn) 2 [ayimet) D a' y\m-?) île a” y\m-3) REA ON EE (— 1)7—1 atm-1) y]
ou, suivant nos conventions,
(4) 3 ay) = (— 31) aÙn) y.
Maultiplions les deux membres de la formule (2) par &, puis, au second membre, remplaçons chaque terme par son équivalent d’après
SUR LES FORMES DIFFÉRENTIELLES ASSOCIÉES. 437 la formule (4) où l’on change successivement y etm en 7?etn, en y"? et (n —2),en y"? et (nr — 4), et ainsi de suite. Il en résulte la formule suivante qui est d’une grande utilité :
(5) —— 1)29 ay y(n) — air 72 — = air yr + AE atn—t) "2 n(n=4)(n—5) Se pot remet CY (V2 O0 PAS NUE PART cf
Par le changement de y en y’, y”, ... cette formule permet de réduire tout produit de deux figures y, y, y’, ... aux seuls carrés y?, y?,y"?, ..., en négligeant une dérivée exacte.
Nous aurons à considérer des formes quadratiques, c’est-à-dire des polynômes homogènes et du second degré, par rapport à y, 3°, y”, .…, avec des coefficients, qui seront censés dépendre, d’une manière quelconque, de la variable indépendante. Appelons-les, pour abréger, formes quadratiques différentielles; on aura soin de ne pas les confondre avec les formes quadratiques ordinaires, que nous aurons aussi à envisager, avec d’autres indéterminées, et dans lesquelles Les coefficients sont toujours supposés constants ou numériques.
Nous aurons aussi à envisager des formes linéaires différentielles, polynômes homogènes et du premier degré en 7, 3”, 3”, ..., avec des coefficients dépendant de la variable.
Dans l’un et l’autre cas, l’ordre de la forme sera toujours le plus erand indice de dérivation avec lequel figure, dans cette forme, l’indéterminée y. Ainsi,
U=ay'+2ay' + ay, V=a2ayy"—20y y"+3ayy"— b'y?+3a"yy + a"y?
sont des formes différentielles, la première linéaire et du second ordre, la seconde quadratique et du troisième ordre. Ces formes sont toutes deux des dérivées exactes, ce qui s’écrira ainsi :
On a, en effet, U — (ay), V=f2ayy"—(a+b)y'+a'yy'+a"y?].
Les formes quadratiques différentielles, qui sont des dérivées exactes, sont précisément celles que nous aurons à envisager, et le
but pour lequel j'ai établi la formule (5), c’est de discerner facilement ces formes. Voici comment :
Par la formule (5) on peut immédiatement réduire la forme à une somme de carrés, en négligeant une dérivée exacte, et écrire ainsi, pour une forme W quelconque,
(6) W= A(YPDIEE B(mD EE EL re.
Pour que W soit une dérivée exacte, 1l faut que tous ces carrés manquent; ainsi la réduction au moyen de la formule (5) fait nécessairement apparaître le caractère de dérivée exacte, s'il existe. En effet, si W est une dérivée exacte on aura identiquement
(5) T'=A(yn}EB(yD}+...+ Ly?,
el T sera aussi une forme quadratique différentielle. Mais, s1 n est l’ordre de cette dernière, les térmes qui, dans T, contiennent y(?), donnent, par la différentiation, les termes de l’ordre le plus élevé nr +1 dans T’; ceux-ci ne peuvent se réduire avec d’autres et sont du premier degré par rapport à y(?+9, Donc, dans la dérivée T”, les termes de l’ordre le plus élevé ne peuvent être des carrés. Donc, dans le second membre (6), aucun des indices p, g, ... ne peut être le plus grand. Donc tous ces termes doivent manquer.
En résumé, pour qu'une forme quadratique différentielle W soit une dérivée exacte, il faut et il suffit que sa réduction par la formule (5) aboutisse à W = 0.
On remarquera, en passant, que la réduction d’une forme W en carrés, telle que (6), peut se faire d’une seule manière; sans quoi une somme de carrés, non identiquement nulle, serait une dérivée
exacte. : Prenons pour exemple la forme V considérée précédemment; voici le calcul : | 2ayy" =— a"y!+3a'y"?, RE Fr bee 3a'yy"= + : a"y?— 3a'y'?, b'y2=— Holy, PAIE SOUS a"y?=+ a"y?, V=o
Considérons deux formes linéaires différentielles Gs, G;; leur
produit est quadratique. Si ce produit est une dérivée exacte, les deux formes G», G, seront dites associces.
Soient Go= ay +byun +..., G=æmyP) + by 1+..
deux formes associées. Si leurs ordres p, n étaient égaux entre eux, le produit G,, G,, réduit en carrés, contiendrait, pour premier carré aa (7(?})?, et ne serait pas une dérivée exacte. Les ordres sont donc inégaux. Soit p << n. Si la différence (7 —p) était paire, on » e à ; aurait, d’après (5), } É (p}) tn) = \Ca—p}( lp) 2 Re \(A—1p—2) (p+T) \2 AT PR OR ETAGE DE er 8174 Or en 6 65 an) ee , n—)p
UN) 2 2ad;(y(Prn 2.
Le dernier terme de cette formule à l’ordre le plus élevé, parmi tous ceux que fournira la réduction; 1l est seul et ne peut disparaître. Donc l'hypothèse que x et p soient de même parité est incompatible avec la propriété d'association. Donc, dans deux formes associées, les ordres sont de parités opposées.
Je vais, à ce sujet, résoudre un premier problème : Trouver toutes les formes associées à la forme la plus simple, G, — y. Elles sont d'ordre impair, comme on vient de le reconnaître, puisque G, est d'ordre zéro.
Je dis d’abord que la forme suivante
(8) FE — (ay }22+D + CEE
est une associée de G,. Si, en effet, dans la relation (4), on suppose m—2n—+1, et qu'on mette ay au lieu de a, on a (en mettant les termes au second membre) ’ (27241) (27241) — a + d 10
re (ay) 14
c'est-à-dire G = Oo?
Soit maintenant G, une forme quelconque, d'ordre (27 +1), associée à G,; prenons son premier terme 24y(?#+1}, composons la forme F avec le même coefficient a. La différence (G, — F) est également associée à G,; mais elle est d’ordre inférieur à (2n +1), car F a, comme G4, 2ay(2*#1) pour premier terme. Donc (G,; — F) estune
forme d'ordre au plus égal à (2n — 1). En poursuivant, on voit que l'expression générale de G; se compose de la somme de plusieurs formes particulières, telles que F, d’ordres décroissants, et de coefficients &, b, ..., quelconques
( 9) Ge —— (ay )2r+1) 2e ay (2r+1)
4 (by )22- 0 LE bye, + (y) + D, [f Par exemple, en supposant n = 1, a — -; on trouve la forme PIE; PP ; = G=y"+20y + by,
ayant cette propriété que yG est une dérivée exacte I [Æ À YG = Cr AS by)
Voici un second problème analogue : Trouver les associées de la forme G, =". En mettant à part, dans la forme cherchée, le terme où y n’est pas dérivé, on peut écrire cette forme f(y') + cy. Mais la réduction du produit 3’f(y'), d’après la formule (5), ne saurait amener le carré y?, tandis que le produit cyy" amène, au contraire,
I € ® #72 Er le terme — -c'3?. Pour que la forme soit associée de y’, 1F faut donc SR
que € soit nul, donc € constant. Cela étant, cyy' est une dérivée exacte, el 1l faudra que y'f(y') le soit aussi. Donc les formes cherchées (d'ordre 2n) sont contenues dans la formule suivante, où Le dernier coefficient est une constante,
(10) Gi api ER anne (bre
ë + by0r 2 LE, + (y) + y" + cy.
Par exemple, :
G= y +92by"+ d'y + cy,
Le problème général sur les formes associées consiste à trouver toutes les formes 6, associées à une forme donnée G,. Je vais faire voir d’abord que ce problème se réduit à la recherche des formes dont l’ordre est moindre que celui de G.
Supposons G, d'ordre supérieur à celui de G,, et soit (2n +1) la différence des ordres, qui est nécessairement impaire.
En mettant dans l’expression (9) G, au lieu de y, composons la
SUR LES FORMES DIFFÉRENTIELLES ASSOCIÉES. 4Aï
forme
(11) H — (a Gi )22#10) + a GL2r+1) RCE Ge GRR RE TG) 10:
Cette dernière I est associée à G,, et du même ordre que la forme cherchée G,.
Par un choix convenable de «&, on abaissera l’ordre (G; — H), en faisant disparaître le terme de l'ordre le plus élevé. Mais (Go — H) étant associée à G,, son ordre surpasse celui de G, d’un nombre impair d'unités, (27 — 1) au plus. Par le choix de » on pourra donc réduire cette différence au-dessous de (27 — 1), puis, par le choix du coefficient suivant, au-dessous de (27 — 3), ..., enfin parle choix de {, (Go — H) sera réduit à un ordre moindre que celui de G.
Donc une forme quelconque G, associée à G, a pour expression H+ G;, H étant l'expression (11) et G; une forme associée à G,, mais d'ordre inférieur à celui de G.
La recherche directe de G>:; étant donnée G,, constitue un problème de calcul intégral sur lequel nous reviendrons. Mais actuellement je vais le résoudre indirectement en construisant de la manière la plus générale deux formes associées.
Pour ce but, employons un symbole distinctif qui représente la combinaison (9). Ecrivons (12) F(a, 7) (ay )22+1) “ee ayl2n+i
fs (by )22-0 + byl2n-1) pre Re (ty) + Lÿ';
en sous-entendant les coefficients b, ..., l, qui sont toujours quelconques et seront changés arbitrairement en même temps que a, sousentendant aussi l’ordre (2n +1), qui pourra changer aussi en même temps. Je vais employer une suite de pareils symboles F(a,, y), F(a;, y), ..., et il est entendu que l’ordre de chacun d'eux, 2n,-+1, 2n,—+1,..., est quelconque, ainsi que les coefficients analogues à b, ..., . Seul le premier coefficient a est rappelé par la notation.
Soient G5, G, deux formes associées, la première de l’ordre le plus élevé. Nous avons démontré la relation
Go = F(a@s, G1) + Go, où G est associée à G,, mais d'ordre inférieur, On a donc de même
G; — F (a, G>) + Ga, Ga = Far, G3) + G,
et ainsi de suite jusqu’à ce qu'on parvienne à une forme d’ordre zéro. La suite se termine donc de la manière suivante : Gr = F(a;s, G,1) + G,., Gi = Fa;h, Gr), GE cry.
Le dernier coefficient c, comme les précédents, est une fonction arbitraire de la variable indépendante.
Par ce moyen, le problème est résolu. Examinons un peu la solution. Le’symbole F(a, y), qui est d'ordre (27 +1), contient seulement (n +1) coefficients arbitraires, moins, par conséquent, de coefficients qu'il y a d'unités dans son ordre, sauf au cas ñn — 0. D'autre part, G, a pour ordre la somme des ordres des symboles F employés. En comptant le dernier coefficient e, on voit que le nombre des fonctions arbitraires contribuant à composer les coefficients de G, ne surpasse pas d'une unité l’ordre de G4, comme cela doit arriver pour une forme linéaire arbitraire; sauf cependant le cas où tous les symboles F sont du premier ordre. |
Nous devons donc considérer comme cas général celui où tous les symboles F sont du premier ordre
F(a, y)=(a, y)+ay =2ay +a y.
Quand il en est ainsi, la forme G, peut être envisagée comme arbitraire. Une forme G,, construite avec les symboles F d'ordre supérieur à l’unité, a des propriétés particulières, dont nous reconnaîtrons quelques-unes. Mais on peut la construire aussi avec des symboles F d'ordre égal à l’unité.
Le mode de formation de G,; par des symboles du premier ordre est le plus général, non seulement à cause du nombre des fonctions arbitraires qu’il entraîne, mais comme comprenant, en outre, à tre de cas particulier, l’autre mode. C’est ce que Je vais prouver.
Supposons, dans l’échelle des formes G, que quelques-unes des dernières G;, G;1, ..., Gx41, Gx soient composées avec des symboles arbitraires, et les trois suivantes avec des symboles à coefficients inliniment grands ou infiniment petits, de cette manière :
I l ee Gr = = (aGx) + Da Gr + Gx+, Gr-2 = e?2[ (a Gr 2241) + ae les + (lGzr 1) + LG ] + Gx,
Gx-3 = — - [Ca Gx-2) + aG%] 4 Gx-1.
Nous supposons € indépendant de la variable et infiniment petit. En
employant la notation (12) et posant, pour abréger,
Es
(a Gx) + LORS, nous avons pour limite de Gx 3 (13) Gr-3=—[aF(a, 3) —aF'(a, 3) + Gr.
La différence limite G4 3— Gx,,, comme on le voit ici, ést linéaire par rapport à G4 et ses dérivées, et de l’ordre (2n +3). Je dis que c’est une forme associée à G4. On a, en effet,
—[aF(a, z)l'Giz F(a, z)2G4, — 04F'(a, 3) Gr=F(a,z)(aGx)';
d’où, en ajoutant membre à membre et d’après (13),
Gr Gr. 3 — Gr) = Fa, 3)[2G,+(aGx)]=2F(a, z) = 0.
On a donc Gr3 = Fa, Gr) + Gi,
avec da ——4Aa?, et
Lo
F(a:1, G) — Car Gy)?+8 + GER Gr GE TELE GER EE
Les coefficients b,, ..… de cette forme sont liés d’une manière assez compliquée aux précédents, et nous n'avons pas à approfondir ces liaisons. Il suffit d'observer que les coefficients de cette forme d’ordre 2n—+3 sont composés avec une fonction arbitraire 4 en plus des coefficients de la forme F(a, 3) d'ordre 2n +1; elle peut donc être envisagée comme arbitraire relativement à son ordre. Donc une échelle contenant une forme d’ordre 2n +3 peut être considérée comme la limite d’une échelle où cette forme est remplacée par trois autres, d'ordres respectivement égaux à 1, 2n +1, 1. En répétant ce procédé, on voit qu'une échelle quelconque peut être considérée comme la limite d’une échelle où toutes les formes sont du premier ordre seulement.
Cette remarque est utile pour mettre en lumière les propriétés de l'échelle à l'égard des changements de variables. Soit F(a, z)=(az) + az.
Nous avons zF(a, 3). = (az).
Changeôns 3 en 23, o étant une fonction quelconque de la variable;
nous aurons de suite (14) pzF(a, pz)= 2F(ap?, z).
Prenons maintenant l'échelle des fonctions G, en supposant tous les F du premier ordre. À Soit, en mettant la variable 7 en évidence,
Go(y), Gi(y), DT G,(7)
la suite de ces fonctions.
Soit, d'autre part,
&o(F); gi(Y), EC) &r(F)
la suite analogue construite en remplaçant les coefficients c, a;1,
cessivement | | G:(bY)= cer =p& (7);
puis, d'après (14),
; | É I I G,-1(07) En E(a;z, 2£&r) = PHARES 18 a D 8719);
puis, toujours d’après (14), où l’on change o en son inverse,
Ges(py)= F(a 23 = &r) ro
=eF( 3 » 84) +PEr=PEr- TS
et ainsi de suite. En résumé, si d’une part on construit la forme G,(y) avec les coefficients €, &;1, &;», .…, ao et l’indéterminée y; d'autre
. = part, la forme g,(y) avec les coefficients c, a,,9?, =: ar 3p?, …., Cut
on à He | | p&(y), sirest pair,
Go(oy)= {1 | : x ï 5 #o(y), si 7 est impair.
Si l’on pose
Go(r) = (as, ji, A2, ..., Ap-1, CY.);
cela s'exprime par l'équation
a e4(2, HZ Ars dre O0) r) (r pair), É (&o, Utd COM
2 4 (ao o?, Æ; ) d-102iC; r) (r impair).
Supposons G,(y) développé ainsi
Go(7) = a) + y +, Ha, y);
msera ésal à 07 Ode:
Soit de même So(Y) = ROUE Bay +. +R, y);
on aura BEST si r est pair.
Gp? si 7 est impair.
Soit maintenant Gotey)= ap(y)+ Ayo +. + A,y); on aura, dans l’un et l’autre cas, ao (y + AyU-0 +, , 2) = ao (y) + By) ete cie d’où | A Buse, Ar Br
Soit donc Qi fi(Ay1, Arr, ...)
l'expression de &; au moyen des coefficients a; on aura, en même
temps,
A; = Bi fi (aie? dy-2 po? ie ) À S1 inversement on exprime les & au moyen des coefficients &, de
telle sorte qu on ait ; ps = Prs (ais An ..., A), on aura aussi
73 Ps (A Asie AA) (s impair),
ds —
p'o,-s(Ai, Astees AA) (s pair). |
: . : EUR I < À Ainsi, les & s'expriment, au facteur 9? ou — près, de la même ma-
mère au moyen des & ou des À. C’est une propriété d’invartance relative au changement de y en oy. Nous allons en reconnaître une autre relative au changement de la variable indépendante.
Soit, en mettant en évidence la variable indépendante,
d dz > Fa, 3)= Fifa 3)= 2 (as) ta:
Prenons une nouvelle variable X, telle que l’on ait
dE use RÉ on aura 199 Ex(a; 3) =uE;(a; 2%}
Composons, d’une part, la suite G,, G;,, ..., G, avec les coeffi clients C, &y 1, @r», ... et la variable X, et, d'autre part, la suite ;, Yriis cr. Yo avec lés Coefficiénts ca, aout, ar, ar;
la variable x. On aura d’abord
à G;= Yr; puis GR CNE A en Eee
Gi = (u Le G 1) GES PER tr Eve
Mais, d’après (14), où l’on remplace o par u, ceci peut s’écrire Go = Fra, u?, Vin) + Ye Vres; On aura ensuite G,-3 = Fx(a,-s, Ge Gi RER (G, ss Ye) BY = UYrsS, et ainsi de suite, en sorte que l’on a
Gr = Yp—2k)
: (EEE — HYr-24—1; el, par conséquent,
Yo, Sir est pair.
Go =
MYo, Si7 est impair;
ou en employant l’algorithme $ où nous mettons la variable en évidence
NE: (Gou?, di, au? a ce :
Ÿ x 0 1 2 HAE 15€ ) r pair Fx(@, CARS NAN ET | ; ? NY ER NE ( P },
DEA Es dune, (r impair).
Par ces changements de variables, on peut réduire simultanément deux formes associées. Prenons le cas où la différence de leurs ordres
est quelconque. Soit donc
? dm \Y 3 dm1N Gi= (or re)
el | ædn+1(aG:) « dn+iG, Te dX21+1 dX272+1
dmn+2n+1 Y dri+2n N\ 24 CRE TETE SÈER dxXn+2n+1 LP lOxXmtIn pe
Le coefficient Q, aura pour valeur
HER ta (16) Q=Pit@ntn(s RENE 7)
En posant
RES ANT G, sera transformé en
dm y dri-1 Pour (TX Te 1 ut
dx'i-1
le coefficient p, ayant la valeur suivante :
fps dp > MEME Ad ue HAE Ti ee ax 21 dx
Quant à G;, il est changé en
dm+2n+1 V dn+2n y m+2n+1 MAUVE m+2n AT T 4
m+2n+1 24 Pop (
expression que nous TEPPÉSENLErONS par LS 0°
dP Puisque G,G, est une dérivée exacte par rapport à X, telle que +< 7
À 2 db d dé # r : 2 # " * Lo Li — AXE sera dérivée exacte par rapport à x, el go, gi
seront deux formes associées.’ La transformée 9, manquera de sécond terme si l’on pose
1 do m —1 du = HSE | o d AR Dior DUETAX Nom |
d’où
Achevons de déterminer p el 1 par cetté seconde égalité
24 Po gun tan?
P opt = —
