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TA DA (1 ;) COX en

C’est, pour r,, un cycle VII si s > 2; un cycle VI si s < 26. Mais, en ce dernier cas, la nouvelle caractéristique est s, au lieu de a, et elle diffère de b. Si s > 2b, les caractéristiques a" et Ê"', quand on passe de GC à G,, sont diminuées de la somme des nombres analogues à b, et B*" est augmentéede cette même somme. Au point de vue de l’application des formules (8), (9), (9 bis), ce fait introduit, dans la formule (8) seulement, une diminution du dernier élément. Cette diminution est égale à la somme des nombres b. Si s<C2b, fi" n’est pas changée, et a"! est augmentée de la somme des nombres (s — b). Ce fait produit aussi, dans la formule (8) seulement, une diminuion È(s— b) du terme — a". |

Nous réunirons ensemble ces deux diminutions, dont nous désignerons la somme par à.

En résumé, quand on passe de la courbe C à la courbe C4,

a", D" sont remplacés par a, Pi,

dE B" » CEE BH D" — Us BG" + Dre

Quant à tous les autres éléments qui figurent dans les formules (8),

(9), (9 bis), ils se conservent, sauf une diminution y pour 4° et une diminution à pour 2 9"— 4",

Le nombre d se conserve, comme on le reconnaît «a prior et comme le prouve aussi la comparaison des formules (9) et (9 bris). Enfin les courbes C et C, appartiennent toutes deux à une même catégorie. En désignant, comme nous l'avons ‘déjà fait, par e cette catégorie, par m, et 1, le degré de la courbe C,, nous aurons

(1) ein) = $"+P+$i—am—2(y +), e(m—m) = 6"+ L'— «".

18. Nous venons d’admettre que les courbes GC et C, sont toutes deux de la même catégorie. Il y a cependant une exception à cette

x AT * 1 L I . .

règle générale. Considérons un développement de = Suivant les puis-

sances croissantes de À. La courbe C est de la seconde catégorie si les numérateurs de tous les exposants, réduits à leurs plus simples expressions, sont impairs; elle est de la première catégorie dans le

, » I cas opposé. Dans le développement de —> tous les exposants se con- Ÿ $ * servent, sauf l’exposant zéro. Les deux courbes sont donc de caté- 0 . : ® x 4 I gories différentes dans un seul cas, celui où le développement de =

ne contient que des exposants à numérateurs impairs, sauf un terme constant.

La courbe C est ainsi déduite d’une courbe C/, appartenant à la

° e . . CAM deuxième catégorie, par l'addition d’une constante à “he Les for-

mules (11) doivent être, pour ce cas, modifiées ainsi :

2 pe P+ PH Gi 4 — 2(y + 8),

s'Aie I CR Voici un exemple : - — «a + cosi. On trouve aisément Fe BU Ru ET aid 0, TAN m = 2, LS

Il en résulte u, — 0, m, —1. Effectivement C, est une ligne droite, directrice de la conique C, relative à l’origine qui est un foyer.

19. Répétons la même transformation sur C,, et considérons la courbe C:, tangentielle de C;. Il y a déjà une simplification consis-

or g. . a À ñ = me Lu, s. " # E + s 4 SAR NR ee Pt di ES ee D RER Je TERRA RP RENE er RS à PT A ES

k. = DÉPAELENT uer ts Ehure me ve : LT, Mole gs

tant en ce que GC, ne contient aucun de ces cycles IV (2) et VI, qui ont exigé un examen spécial, et introduit le terme — 2(y + à) dans la première équation (11).

Parmi les cycles [, à exposants fractionnaires, qui existent dans C, il nous faut maintenant distinguer ceux pour lesquels le premier exposant fractionnaire est compris entre 2 et 3. Soit ainsi

= = A+ B(0— 06) + C(0 — 06) + D(0— 65) CR De)

et faisons E a» — a, Sb2— f2. Pour l'application des formules (11), relativement à CG et CG, les caractéristiques B”, 8”, à”, By, #, vont être remplacées par "+ 8”, 8,, «,, O2, 2; et nous aurons

E(Uo— Ru) —= B" + B" + B1 + Ba — A2;

D'une manière générale, disons qu’un cycle I de C, à exposants fracüonnaires, est du rang n quand le premier exposant fractionnaire

ox ; du développement de = est compris entre À et n +1. Dans le passage

de C à G,% chaque cycle [ de rang », pour G, donne un cycle I de rang 2 —1 pote Gi:

Fe rang 7 n’est pas moindre que l’unité; le rang zéro, par les définitions du n° 12, constitue un cycle Il; le rang négatif caractérise un cycle IT.

Envisageons la série indéfinie des tangentielles successives C, C;, C2, ... et prenons celle qui a le rang Æ +1, C&x. Les cycles I qui, pour C, ont les rangs # +1, £ + 2, ... donnent pour G; des cycles ayant les rangs 1, 2,.... Ceux qui, pour GC, ont le rang X donnent pour GC% des cycles IT; ceux enfin qui, pour C, ont des rangs moindres - que Æ donnent pour C; des cycles IE.

D'une manière générale, soit

= = A+ B(0 — 00) +24 L(O — Oo) + M(D — 0) 54... COLNG<E D)

Péquation d’un cycle de C ayant le rang », et faisons pour tous les cycles de ce même rang Za =», 2b —$,. Pour Cy, les caractéristiques analogues à x” et $” sont ox et By; et les caractéristiques ana-

logues à a” etf" sont

A da aa AE D (EU b BH BL R,.. + Br.

Considérons à la fois C, et Cx, et, distinguant leurs classes et leurs degrés par les lettres & et m affectées des indices correspondants,

nous aurons

(13) ( E (Lx — U=4) TE B" + D" + Di + Ba + et By, (mr Ms) = — aps + PE RH Bi + Bo +... + Br.

20. Nous avons, par les formules (12), acquis la connaissance du degré et de la classe de chacune des courbes G, C1, C2... Manifestement 1l n’y a là aucune loi générale pour un rang déterminé; car on peut concevoir des exemples où la suite des nombres w4 et 6; se prolongera si loin qu’on voudra, et d’une façon tout à fait arbitraire. Mais, quel que soit cet exemple, l'équation choisie étant algébrique,

cette suite (4x, x) sera toujours limitée. Soit (a», 8,) le dernier

[l terme de cette suite. Les équations (12) seront valables jusqu’à k=—=n

inclusivement. En posant, pour abréger, tite B"+ Bi + Do +. FE Br R,

nous aurons ensuite

E(Mn+1— Un) =R, k E(Mn+1 — Mn) = —- 4» +R, L E(UMn+2 — Un) =R, E(Mn+2 — Mn+1) = KR, sels 1e se mate e os see e Cr E(Unrh—Un+tr-1) = R,

E(Mn+h — Mn+th-1) = KR.

A partir d'un rang toujours limité, supérieur d’une unité au rang le plus élevé des cycles Ï de la courbe initiale, les degrés et les classes dés tangentielles successives d'une courbe algébrique quelconque forment deux progressions arithmétiques de même raison.

91. Nous prendrons pour exemples les trois courbes considérées au n° 16.

ExEempLe 1 :

À ce qui a été dit déjà (n° 16) nous devons ajouter que : 1° les cycles I sont tous sans exposants fractionnaires ; 2° Les cycles IV (2) ne sont pas dans le cas exceptionnel où le premier exposant esL zéro. Donc le rang à partir duquel s'applique la dernière proposition est zéro, ainsi que la raison R. Les tangentielles successives sont du même degré et de la même classe que la courbe proposée. Effectivement, elles lui sont toutes semblables.

Exemp Le 2 :

r = Acos 26 + B sin Z 6 + A'cos 2 0 + 3" sin À +... q q q q

Les cycles 1 sont sans exposants fractionnaires. Les cycles IV (2) ne répondent pas à l’exposant zéro; 1l n’y a aucun cycle VI ou Hf. Donc là aussi la loi régulière commence avec la courbe elle-même. La raison R coïncide alors avec la caractéristique $”. Cette caractéristique est 1c1 le nombre désigné au n° 16 par N. On a donc

emn =em + hN, EUR = Eu + AN.

Le nombre & est, comme on l’a vu, égal à 2 si g, p, p',... sont tous impairs ; à 1 dans le cas opposé.

Cet exemple fournit un moyen simple pour obtenir une raisôn ad libitum.

ExEMmPLE 3 :

rk = coskA.

Si Æ est positif et désigné par 1, la discussion faite au n° 16 montre

que la loi régulière commence à la courbe elle-même. La raison R est égale à eg?. On a donc

Mn = 29s + hg?, bn = gSs+(h+i1)g?.

- Si K est négatif et désigné par — Ÿ, le développement de r suivant

les puissances de À (n° 16) montre que les cyeles VI n'appartiennent pas au cas d'exception, sauf dans la seule hypothèse g —1, s = 2.

Laissant de côté cette courbe spéciale, nous voyons que le terme (y + à) de la formule (11) est nulicr.

Quant aux cycles qui répondent à des valeurs déterminées de 0,, leur caractère est révélé par la formule

\ ” Mer æ — (cos L o)?.

Ils sont à exposants fractionnaires si q n’est pas égal à l’unité et si

cos À 0, est nul. Ce sont des cycles [ ou IT suivant que : est supérieur ou inférieur à l’unité.

Si g = 1, alors on n’a que des cycles I sans exposants fractionnaires. La loi régulière commence avec la courbe, et la raison est nulle. Le degré et la classe se conservent donc les mêmes pour toutes les courbes successives. C’est un résultat dont la vérification directe est facile. Il y a exception seulement pour le cas particulier g =1,s = 2. C’est l’ensemble que nous avons cité au n° 18, pour le changement de catégorie entre C et C4.

Si q diffère de l’unité, nous pouvons réunir les deux cas s > g et s<Zq dans un seul, en disant que les cycles correspondant

à cos Z 4, = o ont pour rang le plus petit entier contenu dans —: Soit n s 07 P 6,6 PiUS-p q

cet entier; les caractéristiques &”, 8”, ... sont toutes nulles, sauf an=eqg(s—ng) Pn=eg?.

On aura donc les résultats suivants :

PER H ei TT RCA b; Mn —=M, ; Un =k+g?+qg(s—ng), Mn+r1i=Mm+qg+q(s—nq), Un+1 =t+2q?+q(s— ng),

et généralement

Mntnh=Mm+gs+(h—n)g?, Untn= L+gs+(h+it+n)g?.

22. Si, par rapport à un cercle de rayon 1, ayant son centre à l’origine des coordonnées, on prend les polaires réciproques C’ et C des courbes C et G,, la courbe C° est la développée de C’. L'analyse qui précède nous apprend donc à trouver le degré, la classe, les singula-

rités de la développée d’une courbe algébrique quelconque; la proposition du n° 20 nous donne celle-ci :

- À partir d’un rang toujours limité, les degrés et les classes des développées successives d’une courbe algébrique quelconque forment deux progressions arithmétiques de même raison.

Les discussions du n° 21 fournissent des exemples pour celle nouvelle proposition. À ce point de vue, le premier exemple se rapporte aux épicycloïdes algébriques. Le troisième se rapporte encore aux

courbes r#= coskô, suivant une remarque faite. à la fin du n° 16, et d’après laquelle ces Fe bee ont pour polaires réciproques des ane de même définition.

. s 23. En considérant une équation entre 7 et 4 comme définissant la courbe C/, nous avons là les coordonnées qu’on peut appeler polaires

tangentielles. L’angle 4 est celui que fait la normale avec un axe 7 | I . . L2 « . Le lixe; = est la distance de l’origine à la tangente. À ce point de vue; la

distinction des équations en deux catégories acquiert une importance beaucoup plus grande. Pour la courbe C, cette distinction est rélative à l’origine des coordonnées; quand on prend arbitrairement cette origine, toute courbe est de seconde catégorie (!). Mais,. pour les coordonnées polaires tangentielles, la distinction est fondamentale. En effet, le changement d’origine, dans ce système de coordonnées,

se fait par le changement de en —+ a cos4 + b sinh, ce qui ne mo-

difie pas la catégorie. Les courbes, dont l'équation en coordonnées polaires tangentielles appartient à la première catégorie, sont celles que M. Laguerre a appelées courbes de direction (?).

(1) L’équation d'une courbe est. de la première catégorie quand l’origine a la propriété suivante : sa distance à uu point quelconque, pris sur la courbe, est une fonction rationnelle des coordonnées rectilignes de ce dernier.

(?) Sur les hypercycles (Comptes rendus, t. XCIV, p. 7978). — Sur la géométrie de direction (Bulletin de la Société mathématique, t. VIII, p. 196). [ Œuvres de Laguerre,'t. ?; p. 620, €t:591.]