DEUXIÈME PARTIE

24. Soit D(zx, y) une fonction rationnelle pouvant contenir, non seulement æ et y, mais encore les dérivées de y par rapport à x. ù 2 4 ® La

Envisageons, d'autre part, un cycle défini par les développements de x et y suivant les puissances ascendantes, à exposants entiers, d’une variable £. De ces développements, on en peut tirer d’analogues ee P dx” dx??

vant les puissances croissantes de £. Le degré du premier terme sera appelé 1c1 l’ordre de la fonction ® relativement au cycle. Cet ordre est indépendant du choix de #, pourvu que cette variable corresponde

uniformément aux points du cycle (n° 9).

.... Faisons la substitution dans ®, et ordonnons sui-

Envisageant maintenant une courbe, nous laisserons de côté le cas où tous les points de la courbe rendraient ® nul ou infini. IH n’y a alors sur la courbe qu'un nombre limité de points, origines de cycles relativement auxquels l’ordre de ® ne soit pas nul.

93. Tuéorkme. — La somme des ordres d’une méme fonction relativement à tous les cycles d’une même courbe est égale à zéro. |

Supposons d’abord que ® contienne seulement x et y sans dérivées, et soit simplement un polynôme entier. Soit F(x, y) = 0 l’équation de la courbe, et envisageons l’équation en x seul, qui résulte de l’élimination de y entre F — o et & — 0. Pour simplifier, nous pouvons, sans restreindre cependant la généralité, grâce à la signification donnée à æ et y, supposer que, dans F, ne manque pas le terme en y de degré égal à celui de F. Conséquemment, si l’on prend toutes les racines y,de F — o pour une valeur arbitraire de x, on aura, comme il est connu, pour le premier membre de l’équation résultante,

en mettant, pour y, dans les divers facteurs du produit, toutes les racines répondant à x.

de - À s ne Fe ” re

x « rf m- s ee LS È d rs pa ve “à

Envisageons un cycle dont l’origine ait la coordonnée finie x,, et représentons-le par un développement de y suivant les puissances croissantes de x — x,. Soit g le plus petit commun dénominateur des exposants. Ce développement est susceptible de g déterminations diverses; mais, ® ne contenant aucun exposant fractionnaire, chacune de'ces déterminations, mise à la place de y dans D(x, y), fournit un développement dont le premier terme est, pour chacun, d’un même

degré À par rapport à (x — mo). Si l’on fait x — x, —= #1, on reconnaît que À est ce que nous venons d’appeler l’ordre de ® relativement au cycle. |

Si, dans (13), nous supposons + voisin de +,, tous les facteurs du second membre pourront, de la même manière, être développés suivant les puissances croissantes de (x — #,); et le premier terme du développement aura pour exposant la somme des nombres analogues à 2, ou somme des ordres de ® pour tous les cycles dont l’origine a la coordonnée x,. Or cet exposant marque le degré de multiplicité de la racine x, dans R(x). La somme totale de ces degrés est le degré de R(zx). Donc le degré de R(x) est égal à la somme des ordres de pour tous les cycles de la courbe dont les origines ont des coordonnées x, finies.

D'autre part, nous pouvons évaluer le degré de R(x) par celui du premier terme de son développement suivant les puissances croissantes de æ. À cet effet, on peut répéter le même raisonnement pour les divers cycles qui répondent à x infiniment grand. Un tel cycle est représenté par un développement de y suivant les puissances croissantes de £, quand on a posé x —{71. Il en résulte que le degré du premier terme dans le développement de R(x) suivant les puissances décroissantes de x est égal à la somme, changée de signe, des ordres de ® pour tous les cycles répondant à æ infiniment grand. En égalant ces deux expressions du degré de R(x), on à la preuve du théorème annoncé, pour le cas supposé où D(x,7)estun polynôme entier en x et y seuls. 3 ù

Pour une fonction rationnelle, l’ordre relatif à un cycle est égal à la différence des ordres des polynômes entiers qui servent de numérateur et de dénominateur. Donc la proposition s'étend naturellement à une fonction rationnelle de x, y.

Pros RS MP) 0?

Pour une courbe algébrique, les dérivées TT -.+ peuvent

s'exprimer rationnellement en x et y. Donc la proposition s'étend aussi au cas Où la fonction P(x, y) contient ces dérivées. La démonstration en est donc complète. 3

26. Pour les applications du dernier théorème, il y a toujours nécessité de distinguer, parmi les cycles relativement auxquels l’ordre de ® n'est pas nul, ceux pour qui cette circonstance est due uniquement au choix des coordonnées. Nous allons faire cette distinction une fois pour toutes. Pour ce but, une courte digression est nécessaire. |

Il s’agit d'introduire, d’une manière générale, la projectivité dans les équations différentielles, de manière à pouvoir y faire aisément les changements de coordonnées. À cet effet, nous considérerons des transformations qui serviront surtout au raisonnement, et dont nous

nous affranchirons ensuite.

dy dy dx dx?

poserons un changement de variable indépendante, laissant d’ailleurs

Soit une équation algébrique entre x, y, »--.+ Nous sup-

la nouvelle variable { indéterminée; et nous imaginerons les coordonnées rendues homogènes, en prenant pour nouvelles coordonnées u4, U2, Us, et posant

Us Uo

(14) Mn Lo te L’équation ainsi transformée sera supposée mise sous forme entière; soit alors f,(u) son premier membre. La lettre w, mise entre parenthèses, rappelle les coordonnées, et l'indice { rappelle la variable indépendante. |

La fonction f;(u) jouit évidemment de deux homogénéités, l’une par rapport aux lettres u, abstraction faite des indices de dérivatiôn, l’autre par rapport aux indices de dérivation. Mais elle a des propriétés plus caractéristiques, qui se reconnaissent comme 1l suit.

Désignant par À une fonction quelconque de #, et par #,, P2, #3 de nouvelles coordonnées, posons

(25% Un ADE, Us Ne, Un NEU D'après la règle de Leibnitz pour les dérivées d’un produit, on aura

feu) = fi(v) +,

à étant le degré de f par rapport aux lettres w, et w ne contenant que des dérivées d’ordre inférieur à l’ordre même de /. Mais la comparaison des formules (14) et (15) montre que la nouvelle équation transformée doit différer de la précédente par le changement seul des lettres w en les lettres #. Donc + est identiquement nul, et l’on a

(16) OSEO REA

Par un raisonnement tout semblable, on établit la propriété suivante, relative au changement de la variable indépendante :

(7) AG) = (9) ft)

L’exposant uw est égal au poids de f par rapport aux indices de dérivation.

27. Pour rendre l’équation projective, prenons, comme figure de comparaison, un quadrilatère arbitraire. A cet effet, introduisons les coordonnées de quatre points. Abrégeons l'écriture en employant la notation (abc) pour le déterminant formé avec les coordonnées 4,, ay As5 V3, bo, Da; C1, Co, C3 de trois points a, b, c. Désignant par æ les nouvelles coordonnées du point variable, nous poserons

; u, = (wbc)(acd)(abd), (18) us = (wca)(bad)(bcd), u3=(wab)(cbd)(cad).

En substituant, nous avons, au lieu de /;(u), une fonction des coordonnées #, a, b, c, d, qui peut, dans certains cas, se décomposer en le produit de deux facteurs dont l’un ne contenne pas les æ. Prenant cette hypothèse. la plus générale, nous aurons ainsi

Jitu) = ga) F:Cw, a);

les lettres entre parenthèses sont destinées à rappeler les coordonnées qui figurent dans les fonctions; la lettre & est mise pour à, b, c, d.

D'après la forme des équations (18), une même substitution linéaire effectuée à la fois sur æ, &, b, c, d a pour effet de multiplier les u par le cube du déterminant A de la substitution. Donc le produit o(a) F;(æ, a) se reproduit multiplié par A%, et les deux facteurs se reproduisent chacun multiplié par une puissance de A. Désignant

par W, À,... les nouvelles coordonnées, nous aurons donc (19) F,(w,a) = AÔF(W,A).

La fonction F,(#, a) est un covartant différentiel, contenant uniquement, outre les coordonnées du point variable et leurs dérivées, les coordonnées de quatre points a, b, c, d. Tout autre élément peut y être envisagé comme purement numérique. Si l'équation différenüelle, qui a servi de point de départ, exprime une propriété projective, son premier membre se présente naturellement comme une fonction des coordonnées du point et des éléments d’une figure, fonction inaltérable par les substitutions linéaires. Mais toute figure peut être projectivement rapportée à quatre points, et représentée par ces points et des nombres. Donc toute forme projecuve d’une équation différentielle équivaut à celle que nous venons de considérer.

Le covariant différentiel F;(w, a) peut ne contenir aucun des points a, b, ce, d. C’est alors un énvariant différentiel. Pour ce cas spécial, dont nous verrons des exemples, on a à — 34.

28. Nous pouvons maintenant revenir, pour le covariant, à la forme simple dans laquelle les coordonnées du point mobile sont rédüites à deux, et où l’une d’elles est la variable indépendante. Ce covariant donne lieu à deux identités semblables à (16) et (17). Remettant donc la lettre uw, au lieu de æ, pour les coordonnées courantes, et supprimant l'indication des coordonnées a, b, ... nous aurons, en employant les formules (14),

ss /dx\o® F;(u) = uÿ (à) F,(x).

Dans F£(x) les coordonnées sont x, y, 1.

En faisant maintenant un changement de coordonnées quelconques, appliqué non seulement au point mobile, mais encore aux points a, b, c, d, et réduisant aussi les coordonnées du point mobile à X, Ÿ, 1, nous aurons de même

sS /dX\o

Mae ra: PRES APE RC AT. US “ds © US ue RS à SAONE dE A HA 0 RE ter

38 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.

Enfin, en nous servant de l'égalité (19), nous conclurons

Fa(æ) = (arc ;

Ecrivons explicitement les formules du changement de coordonnées :

a X + Gi Y + y: FA ao X + Da Y + Yo re GX OI VE

et nous aurons, pour l'égalité définitive que nous voulions obtenir,

à AS dX \0 DE PINE Ee Ra RER Ex (29) re (as Xe BP y5 39 2) Ha

Telle est la formule pour le changement de coordonnées dans le premier membre d’une équation différentielle exprimant une propriété projective.

29. Les deux exposants à, w sont importants pour ce qui va suivre. Il sera utile de savoir les calculer sans exécuter le changement de coordonnées.

Supposons le point mobile aux environs de l’origine du cycle

E — Lo = Pa(Y — Yo) + ps(Y — Yo} +...,

les coefficients p+, ps, ... étant arbitraires. Au second membre de (20), tous les facteurs ont, pour y = y,, des valeurs finies diffé-

; f dX\vw ; rentes de zéro, sauf Ce dont le développement commence par un

terme du degré — w en y — yo.

Par conséquent, le nombre w, changé de signe, est l’ordre de F;(x) pour le cycle considéré. On pourra aussi calculer cet ordre en renversant l’équation du cycle, et prenant

58 2 Y —Vo= Q1(T — Lo)? + qa(T — Lo) + ga(T — Lo) +...

Substituant ce dernier développement, à coeflicients arbitraires,

dans F;(x), on aura, pour le degré du premier terme en x, le

[0] nombre =: :

dy : : 3:

——. Le degré du premier terme est — -.

dx? 3

Exemple : soit F,;(x) — Donc w — 5.

Pour calculer à, mettons, dans (20), à la place de dx son expres-

nt

« BOND PL RERO TL CPR CES LORD TPS AN 0 OT D OR OR, LAC" RO TS Le AE Qi 7 ART, HA: uen + MP CU re IE EEE ME Mg AS RU EE Nes - LX nŸA Peu HT Fuel D: cé SE ETS DR PR LUS + ; » Æ.. À L ue 4! ED es et die, ; L 0 ? ge, ù ma, : F

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sion ire (as X = 33 Y + V3) (1 dX Se 8° dY) = (a X + Bi Y + V1) (as dX Re Bs AY)

(as X + BY + ya)?

Supposons maintenant le point mobile sur le cycle

F=qGTr+g+ 2 qe D’après l’expression de dx, le second membre de la formule (20), développé suivant les puissances décroissantes de x, a son premier terme du degré à — 2w. Donc, en substituant le développement de y dans F;(x), on aura pour le degré du premier terme à — 2w; ce qui détermine à.

Dans l'exemple F,(x)— ee le premier terme est du degré — 3. Donc à — 26 — — 3, et, par suite, à — 3. Ces résultats se vérifient aisément si l’on observe que, pour cet invariant différentiel, la forme Fe(u) est le déterminant (uu'u”). |

C’est le nombre à — 2w que Le calcul précédent donne directement, et non pas à. C’est aussi à — 2w qui intervient dans les résultats, et

nous poserons Ÿ — 2 = Ww’,

30. Le nombre — w est l’ordre du covariant F;(æx) pour un cycle dont la tangente est x — x,. Pour une courbe quelconque, le nombre des pareils cycles est la classe u de la courbe. Donc la somme des ordres du covariant, relativement à tous ces cycles, est uw. De même — w/ est l’ordre du covariant pour un cycle/dont l’origine a ses coordonnées æ, y, infinies. Pour une courbe du degré m, la somme totale des ordres du covariant, relativement à tous les cycles analogues, est — muw/. :

Pour appliquer la proposition du n° 25, nous avons ainsi dans la somme des ordres du covariant, relativement à tous les cycles de la courbe, cet élément — (wu—+w'm), qui se rapporte exclusivement aux coordonnées. Au contraire, tout autre élément de la somme est indépendant de ces coordonnées. En effet, voulant calculer l'ordre de F;(x) relativement à un cycle, nous pourrons, dans la formule (20), supposer l’origine de ce cycle et sa tangente répondant à X = Ÿ — 0, et Y — o. Si l’origine de ce cycle ne répond pas aux coordonnées x, y infimes, et si la tangente n’est pas x = x,, alors les facteurs du

40 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.

second membre dans (20), sauf F;(X), sont d’ordre zéro. Donc l’ordre de F;(x) est égal à celui de F;(X). Il est indépendant des coordonnées +, y et peut être calculé en réduisant les coordonnées à la forme la plus simple. En désignant par Q la somme des ordres du covariant, ainsi calculés pour chaque cycle, on aura donc

(21) Q = wu + w'm.

21 CFremole sers SA tee à 4 xemple : PRE. OIL 1e cycle

ne pa" ilr]

LA e nm .

Le degré du premier terme, en +, est . L'ordre de F, relative-

ment à ce cycle, est donc (y — n). D'où la formule (22) d'O—n)=3(u—m) :

où la sommation doit s'appliquer à tous les cycles pour lesquels les deux nombres y, n sont différents.

Cette formule (22) donne le nombre des points d’inflexion; car un point d’inflexion ordinaire (n —1, y — 2) apporte à la somme un élément égal à l’unité.

32. Voici maintenant un second exemple, où nous envisagerons tout d’abord l’invariant différentiel sous la forme F;(4). Nous prendrons pour F;(u) le déterminant formé avec la première ligne

UF US US SOU Ua Us li NUtUs.

les termes correspondants des lignes suivantes seront les dérivées premières, secondes, ..., cinquièmes de ceux de la première ligne. C’est un invariant; Car c'est le premier membre de l’équation différentielle des coniques. Nous avons immédiatement ainsi ô — 12 : c’est le degré par rapport aux lettres u; et w — 15 : c’est le poids par rapport aux indices de dérivation. Ainsi, en calculant Q comme il a été dit au n° 30, on aura à — 26 —— 18, et par suite

Partageons les cycles en deux catégories; la première sera caracté-

risée par l'inégalité de la classe et de l’ordre; la seconde par l'égalité.

Prenons un cycle de la première catégorie sous la même forme qu'au n° 31, et réduisons l’invariant à la forme F,;(x). La première ligne du déterminant se compose des termes ci-après, convenablement rangés : Ë RIT JS TP, y.

Leurs parties principales ont, en x, les degrés respectifs

tous nombres inégaux. Par conséquent, le déterminant lui-même, formé avec les dérivées prises par rapport à æ, a pour partie principale le monôme auquel il se réduirait si chacun des-termes ci-dessus était réduit à sa partie principale. Le degré de ce monôme est égal à la somme des degrés des termes, diminuée du poids, c’est-

à-dire 8 + = — 15. Donc l’ordre de l’invariant, relativement au cycle, est 4» — 7n. Donc les cycles de la première catégorie apportent à la somme Q l’élément