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Comptes rendus de l’Académie des Sciences, t. 103, 1886, p. 1302.

L'Académie avait proposé, comme sujet de concours pour le grand prix des Sciences mathématiques en 1886, la question suivante : Etudier les surfaces qui admettent tous les plans de symétrie de l’un des polyèdres réguliers.

Elle appelait, en particulier, l’attention des concurrents sur celles de ces surfaces qui sont algébriques et du plus petit degré, ou qui jouissent de quelque propriété remarquable relative à la courbure.

Trois mémoires sont parvenus au Secrétariat avant l’époque de la clôture du concours. L'un d'eux, inscrit sous le n° 4, est accompagné d’un supplément, déposé à une époque ultérieure. Ces mémoires portent, tous trois, empreinte d’un travail sérieux.

Le mémoire n° 1 a pour devise : La clarté est l’éloquence des sciences. Il contient une étude très soignée des surfaces du troisième et du quatrième degré admettant les plans de symétrie du tétraèdre régulier ou du cube; mais il n’aborde pas les surfaces ayant les plans de symétrie de l’icosaèdre. Par la nature des questions traitées, ce mémoire, bien fait, mais trop élémentaire, a paru ne pas répondre suffisamment au désir de l’Académie et ne pouvoir mériter une récompense. |

Le caractère général du mémoire n° 3 est moins élémentaire; on y trouve déjà quelque connaissance des progrès modernes de la géométrie analytique. Ce mémoire porte pour devise : Cette géométrie idéale, qui est une des conditions du beau et qui réside dans la symétrie, dans la proportion, dans tous les rapports de mesure... Il contient l’étude intéressante de plusieurs surfaces ayant les plans de symétrie, non seulement du tétraèdre régulier ou du cube, mais encore de l’icosaèdre régulier. Malheureusement, une erreur, commise dès le début, enlève aux résultats une partie de leur valeur.

Néanmoins, la Commission, voulant rendre hommage au talent mathématique de l’auteur, lui décerne une mention honorable.

Le mémoire inscrit sous le n°2 à pour devise : Von multa, sed multum. Il est divisé en trois parties, dont la première concerne la recherche des équations générales propres à représenter toutes les surfaces ayant les plans de symétrie d’un polyèdre régulier, tétraèdre, cube ou icosaèdre. L'auteur (!) trouve ces équations par des procédés rigoureux et élégants; on reconnaît là, dès l’abord, un géomètre familier avec les théories toutes modernes d’algèbre où les polyèdres réguliers jouent un rôle prédominant. Il étudie rapidement les plus simples de ces surfaces qui sont algébriques et aborde, dans la seconde partie, la recherche vraiment intéressante des surfaces minima qui ont les symétries demandées. Pour y parvenir, il emploie la représentation des surfaces minima sous la forme donnée par M. Weierstrass et l’interprétation géométrique que l’on doit à M. Lie. Dans ce mode de représentation, les coordonnées d’un point quelconque sont exprimées explicitement au moyen d’une variable complexe par l’intermédiaire d’une fonction caractéristique. L'auteur du mémoire n° 2 cherche comment on doit choisir cette fonction caractéristique pour que la surface ait les plans de symétrie d’un polyèdre régulier. Cette recherche se trouve extrêmement facilitée par la connaissance des théories algébriques dont M. Félix Klein a publié un exposé lumineux dans son récent ouvrage, intitulé Vorlesungen über das Tkosaeder. Grâce à ces théories si perfectionnées, le géomètre érudit dont nous analysons le travail a pu, sans difficulté, trouver la représentation générale des surfaces minima algébriques ayant les symétries de l’un quelconque des polyèdres réguliers. La troisième partie est d’un moindre intérêt; on n’y peut guère remarquer qu'une généralisation, bien facile, du tétraèdre régulier et du cube pour Pespace à plus de trois dimensions. On doit regretter que, dans une rédaction hâtive, l’auteur ait seulement indiqué les résultats de quelques calculs, sans en donner le détail, et laissé à son travail une forme trop peu achevée. Mais, considérant qu’il a fait preuve de connaissances étendues sur le sujet proposé par l'Académie, la Commission émet l'avis de lui décerner le prix. ;

(1) [M. Édouard Goursat, dont le mémoire a été publié, en 1887, dans les Annales scientifiques de l’Ecole Normale supérieure (3° série, t. 3).]