AVERTISSEMENT DES ÉDITEURS

Les papiers inédits laissés par Halphen furent examinés par les soins d’une commission de l'Académie des sciences composée de MM. Darboux, Picard, Appell et Poincaré; ceux que cette commission Jugea les plus dignes d’intérêt furent déposés à la bibliothèque de l’Insutut (dossier n° 2418), où ils peuvent être consultés.

Un rapport sur ces manuscrits, fait par Poincaré, a été lu à l’Académie des sciences, dans sa séance du 4 novembre 1001, et les conclusions en ont été approuvées par elle, On trouvera ci-après le texte de ce rapport.

Conformément au souhait exprimé par le rapporteur, nous publions un mémoire sur la classe nouvelle d'équations différenüelles linéaires intégrables découvertes par Halphen (dossier n° 1 du rapport Poincaré), un mémoire sur la théorie des surfaces (dossier n°2 du rapport), et un travail sur l'expression des valeurs de certaines fractions continues sous forme d’intégrales définies (dossier n° 12 du rapport). Nous publions aussi une note sur le jeu du taquin (dossier n° 3 du rapport), qui avait été lue par Halphen, à la Société mathématique, le 2 juillet 1880.

Une nouvelle révision des autres manuscrits, conservés par M: G. Halphen, nous a fait retrouver le texte d’une note sur les courbes dont l’équation en coordonnées polaires est 7 = cos nb, qui avait été lue par Halphen, à la Société mathématique, le 19 avril 1856 : nous publions donc cette note. ;

Nous avons pu extraire, en outre, de ces papiers, d’autres études intéressantes auxquelles Halphen n'avait pas donné leur forme définitive. Ce sont : 1° une généralisation de la fonction H de Jacobi, pour le cas de plusieurs arguments; 2° une note faisant suite à celle qu'Halphen avait présentée à l’Académie des sciences le G mai 1887, sur l'intégration d’un système d'équations différentielles par des fonctions modulaires; 3° des recherches d’arithmétique sur ‘une formule qui se présente dans certaines démonstrations de la loi de

réciprocité; 4° un essai sur un mode nouveau de développement en séries, pour les fonctions continues à variation bornée.

Pour les deux premières de ces études, nous avons pu conserver le texte d'Halphen, qui contenait seulement quelques mots de lecture douteuse et quelques lacunes. Les deux autres manuscrits se présentaient, au contraire, en plusieurs ébauches dont aucune ne pouvait être imprimée telle quelle, et qui se complétaient mutuellement. M. Châtelet, pour le troisième, et M. Fatou, pour le quatrième, ont bien voulu se charger de faire une rédaction d'ensemble: la pensée d’Halphen y à été rigoureusement respectée, et les textes autographes ont pu même être transcrits presque partout.

À ces œuvres inédites nous avons joint quelques communications sommaires, de moindre importance, qu'Halphen avait faites à diverses sociétés savantes, et qu'il n'avait pas mentionnées dans la liste de ses travaux, lors de sa candidature à l’Académie des sciences.

Enfin nous avons extrait du troisième tome du Cours d'analyse de C. Jordan, et réimprimé à la suite du mémoire inédit « sur une classe nouvelle d'équations différentielles linéaires intégrables » une autre démonstration des propriétés caractéristiques de cette classe d’équaons, qui avait été rédigée par GC. Jordan, d’après des indications qu'Halphen lui avait données.

L'ensemble de tous ces mémoires et notes a été classé dans l’ordre chronologique de leur composition, autant qu'il a été possible d’en déterminer les dates.

Nous aurions voulu pouvoir y joindre les lettres d'Halphen aux divers savants avec lesquels 1l avait été en correspondance. Mais nos recherches dans ce sens ont été peu fructueuses. Il ne nous a été possible de réunir qu'un certain nombre d’extraits des lettres d’Halphen à Zeuthen, choisis et transcrits par Zeuthen lui-même. Ils offrent un vif intérêt, car ils correspondent à une longue période de la vie d'Halphen, de 1876 à 1881; on les trouvera après les mémoires et fragments inédits.

Malgré les démarches empressées de M. Volterra, les lettres d'Halphen à Brioschi, qui auraient présenté aussi un grand intérêt, relativement aux recherches qui ont occupé les dernières années d'Halphen, n’ont pu être retrouvées, et 1l paraît à peu près certain qu’elles ont été détruites.

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