NE
On a alors
ep Ô 2 (8 TL) Ad Vo ns u (au +) L'ART 1 CUS [2] LCR Le seu + B f u FEU) NTM REC REETre fs œ
valeur que je désignerai, pour abréger, par Ja=Av(x)+BY(x).
Pour déterminer les constantes, prenons deux valeurs y, et J»44 de y+; 1l viendra Jn —=Av(n) +<BV(n),
Ynn=Ag(n+i)+ BV(n +1);
d’où ee Vin (nr + TM CR) gCn)b(n +1) on +n)Ÿ(n) p(n)b(n+i)—g(n+i1)Ÿ(n)
tend vers zéro
Or il est très aisé de voir que le rapport Vie) æ)
NS D ES A quand + devient infini; d’où l’on conclut
ue JA UR AE net UMDE Ja Y(R +1) — Yu Y(n)
Vas Yu désignant les numérateurs de deux réduites et y, y,., les
dénominateurs de ces réduites.
En particulier, si le rapport ‘ est plus grand que l’unité, la quan-
tité qu'il faut annuler aux limites de l'intégrale s’annule encore
pour &u—0, quand x devient égale à — 1 ;on pourra alors faire nr — — 1. On a alors De Es ne, a Y(o) , Poil 1Y1=0, LÉO 0 0) 7l 1 de CO) +1 —- S(B+<)—-<—1 f° uViSe au fa te + PA a) TT Te œ
de EME are f uŸe de D NEUTS )
. . . LA e. Ô Telle est l'expression de la fraction continue 3. On voit que si : est
: I à . (0) un nombre entier, et =(8+ 1) un nombre entier plus grand que 7 œ m4
les intégrations s'effectuent aisément, et la fraction continue 4 pourra être traduite en termes finis.
Exemple $
résultat bien connu et démontré par Euler.
> ee a d d
Dans ce second cas, la méthode de Laplace ne donne plus qu'une solution particulière de l'équation (1) et est, par conséquent, en défaut. La valeur de la fraction continue 3 peut néanmoins être dé-
duite encore dans ce cas de l'analyse précédente. Et d’abord, si l’on change convenablement la variable sous le signe d'intégration, la valeur (2) de z peut être écrite
1 Co ul 15% FR Ô +1 Y= = (B+=)—-—1 f e el x.) Y PEN ÉRROD 15 uw 1 1 Ô = M ME ME et f e En eh a) a
Considérons l’intégrale [ u” (1 — u)“eP“du. On a, en général, #0 ,1 1 ; È gp? | / un(1 — ujrert du = f u(r — u)?t du ; Lee 7 UE i LIRE AN ; | 12
| p2 =(m+I, NÉ) É(MmEo nt IE . s(m+S, A2) HN.
I aS
T'(m +i)T(R+r)| HUE TE pe (m+i)(m+o) p? Fa = ——————————————————— © — à ———————— TRE SEP, l(im+n+o2) | M+n+21 (M+n+2)(Mm+n+S) 1.2
en employant la notation habituelle des intégrales eulériennes.
476 OEUVRES DE G.-H. HALPHEN On déduit de là : | :
À 0 +" (3) z— l a+ É œ Ô Ô D'EUE EE ” (+) (+3) “se Le Ê a] ; “+ Y ee : Ÿ es PE 1 1) ) pe ë AURTES APE ee Ô É } ) PNA AUS RE 2 + f l Y f
DT EE LE NUL PERS Rare Re Se ——————————" $ PRES on I Ÿ DR OU Y H\a Y Se PRE -(B+=})+: if[B+t)+r i-(B+l) +o œ œ [a x tn 0 18 RAS ( ‘ d: . . ; I “/ ve Cette équation est vraie quand = Aer nr est une quantulé positive. Mais les séries du second membre sont toujours convergentes, et ce second membre est continu. On en conclut que l’équation a lieu pour toutes les valeurs des paramètres a, $, y, 0. Transformons maintenant les séries qui entrent dans 3 en des intégrales définies.
On a, en général,
JTE M CT, E) 0 2 æ ; E9 ar?
I I 1 62 y? ) = je eh De EL ICE TITI Mm(MmHI) 1.2 el 5 a 0 € sin2(2—1)4. dw l D + e25° cos W il e—2$1eos0! I I 2 0 LS SR A Re ENT | ; mi m(m+Hi)1.2 Le A sin202—1) 6 ,duw
Si l’on observe que l’on a aussi
T SR T n sin2b 4. dw = ———— [ sin?(b+1) 6.duw, LR Us)
on obtiendra définitivement
EUR 20 (CP rem à SÈTE (œ—+ B)(0 + Y)(2a8 +2y + œ«?)
YT 4 , 2 62 cos w
on Du (Et sites Dites [ a | dur EAReresin NE mia. e &. ‘Le Fe Hu 0
æ T (] (ee) , Y2 ET eos « —. s d dE Th duo ETES sin Te w}2+e RCE e < 0 /0
Il y a un cas où l’on obtient une formule plus simple; c’est celui où le paramètre y est nul. Ce cas rentre nécessairement dans celui où la
UT - ù 2 6 ÈRE ; quantité = (8 + 1) a. est négative. En supposant y — o dans l’équa-
tion (3), on obtient
AT CIE I 02 b Fa É ) É :) Troc N RE 2 192 SRE PRE RS o a DRE I Ô I 0?
= 1 (ÈS 1) 0 c0s & ,Ô cos w SIENS w.du ÿ2+ e ARRET œ NN BE —— .
1 1 26 +a % 2 ê at 2i à cos ,è cos | J sin’ * w. de | » + e PNRELIE SRE & l
Cette dernière formule permet d'exprimer la fraction continue 3
LS 1 chtermestimns, si l'on à %=10; et Ê — k + =, À étant un nombre entier.
Exemple :
LT Br, = 0: OT, :
I I 3 2 Z = pe POI ; I 3 2 ei 3 OI :
se 7 +
: Ô — 1, Y =0, X— 24, SEAT Se ONCE e 54 + — PE on re ee 1 1 2 À d — —a(a—1i)e"+a(a+i)e ES 2 k OS A7 a à 1 Re —+et—e * (0 7e
On conclut aisément de là
D /5 en b LDH Are Vo\Veb l 3 a + 8 # 2Vb va ee b 4 —e 5 «a + a VO AS
Considérons actuellement les fractions continues dont les numérateurs et les dénominateurs ne sont pas du premier degré par rapport au rang qu'ils occupent.
Parmi ces fractions, y en a-t-1l auxquelles on puisse appliquer le procédé d'intégration de Laplace?
L’équation différentielle en e, étant d’un ordre supérieur au pre- “muer, ne pourra pas, en général, être intégrée. Mais, si elle se trouvait être du premier degré en w, on pourrait l’intégrer complètement par des intégrales définies; car elle est toujours linéaire, Voyons sous quelles conditions ce fait se présente.
Si l’on pose += nx,°, l'équation fondamentale devient
Nx+2 = x x+1 + Marre Or un terme tel que
ù AX(T—I1)(T—1)...(—n+1)nx+m
donne dans l'équation en + le terme
dr un+n
RACE du?
L’équation en » sera du premier degré en u, si(m<+n) n’a que deux valeurs consécutives. Si ce sont, par exemple, les valeurs 2 et 3, on aura des termes en u?e el en uv; et si l’on prend pour inconnue la quantité u?v, l'équation sera du premier degré en «w et linéaire en w?v. Le terme n;,, donne nécessairement à (mn) la valeur 2; cette quantité pourra donc prendre encore la valeur 1 ou la valeur 5. Ceci nous conduit à considérer les fractions correspondant aux équations suivantes
se Ax(æ—1)+Bx DR Cr(x—1)(æ—-2)+Dr(x—:1) Tee Ye = (AT +B)yz1 + | Cx(xz —1)+Dx lYx2.
À l’égard de la première équation, 1l est facile de voir que la fraction continue qui lui correspond se réduit à des termes du premier degré.
x r : y ul "A à
Quant à la seconde équation, elle n’est qu’un cas particulier de la
suivante
(4) Yz=(Atz+B)rzi1+ (Gr +Dr+E)ys;
et je vais montrer que cette dernière peut être intégrée complètement par des intégrales définies au moyen d’une équation différentielle du premier ordre.
K Soit, en général, l'équation
(9) Var = Ar Vx1 + bxCrVx-s.
Si l’on pose Yx = uxP(b:,1), le signe P(b:,,) désignant la factorielle b5b,0:...bx.3, l’équation devient, par la suppression du facteur commun 0»,
(6) brrilx = Axlx-1 + CrUx-0.
Or l'équation (4) pourra être amenée à cette forme avec des coefficients Gx, 0x1, C> du premier degré. On pourra donc l'intégrer complètement par des intégrales définies. On trouve facilement ainsi la valeur de fractions continues bien connues telles que
4 12% ——————— — | —= a —————————— log(1+a) 224 DRE 3 — 24 + - 4j — 3x —- RER | RTS NE 99 7 ue 2 + u 2 + Dirt
La transformation de l'équation (5) en l'équation (6) peut être employée pour compléter l'intégration de l’'équauon
Va = (ar +8 )Yei + (YT +0 )Tr e,
x I Ô = Le 2 dans le cas où — (E — 1) ie est une quantité négative. On se trouve
” LA. AD 7, NPC CR ef x "Le LT 2h27 A ET SET L dr He REP CR D'YERT ME es ad FRS T rate Nr dev!
ramené à l'équation (JT +Y+Ô)ux = (ar + $)ux-1 + Ux-o,
et l’on obtient la solution particulière
& L LA UY 1 DRE ÿ Y æ+=-(B+) —— =—z(6+s — rer =) 1 u a\F à) e *(a—vyu) x ( &) qu,
applicable toutes les fois que l’on a I a site Al 8 + 1) Le (Eÿe
En joignant cette solution à la suivante, applicable dans tous les
CasS*
PNR Ô 1/ Ô u Var f 7 nr (au + y )* (B+)=gT e “du, At) on obtient la solution générale de équation proposée dans le cas où la solution générale précédemment trouvée ne s'applique pas. Mais l'usage de cette nouvelle forme de solution pour sommer la fraction continue correspondante mène à une formule trop compliquée pour qu'il soit intéressant de la considérer.
Considérons encore les fractions continues à termes à la fois variables et périodiques, telles que la suivante : À mt; SAR P:
Dans cette fraction, 1l y a six fonctions du rang æ. Chaque période comprend trois termes. En général, si une période comprend 7 termes
Ù al!
(33 (2475 Dh) à Æ LA CE (ut bd DES a" RALETERSS
Fr : es NES sû TL
désignons par y} le numérateur ou le dénominateur de la réduite comprenant les x termes, par y®? celui de la réduite qui en comprend
un de moins, etc..., par y! celui de la réduite qui ne comprend que tt
le terme Fin de cette période, On aura les équations suivantes : TC
ds [2 (2) (72 2) Ji =0f y +alyf, € . ph A y 5 br D y 3) +. a! LUE
LOUE (2 /i 2 1) PR DRE COTE EEE
Din 1)7(2) JS) = Yi +as Ju:
Au moyen de ces n équations, on peut obtenir une équation linéaire aux différences finies ne contenant qu’une seule des n inconnues, et qui permettra d'aborder le problème de la sommation de la
fraction continue proposée. Soit, par exemple, la fraction à période de deux termes
nm]
La]
UE Dés Cle 1 Pa PERLE
Na +
Elle donnera les équations suivantes :
({ 9 (4 HT VER D nv D, 2)
Da ML DO ee QU RARE
d’où D = ( tx + 1+ MrQx) Yi — MaxQxPx-19
Ix-19x = (9x x-1 x FPrx-1 x {x )Vx-1 x4{xPx—-1V x 0;
Si l’on suppose que M, A», Pr soient du premier degré et 7: constant, on pourra intégrer cette équation; car elle rentrera dans l’équation (4).
On pourrait évidemment résoudre l’équation en y, si Mx, Pr, Qx étaient du premier degré et n, une constante.
Supposons, par exemple :
Ix=1,; Ax=l,; Prx=X,;, Mr =T, [
