EXTRAIT D'UNE LETTRE À M. MANNHEIM

Bulletin de la Société philomathique de Paris, ÉSiSérI HP te TND 2100

Vous avez, dans une communication faite à l’Académie des sciences le 9 mai, donné quelques résultats ayant pour objet de montrer l’utilité des déplacements. Je viens vous rappeler que quelques-uns de ces résultats pourraient être obtenus aussi à l’aide d’une formule que j'ai fait connaître à l’Académie le 18 janvier 1869 (!). Parmi les applicalions que J'ai, à cette époque, données de cette formule, je vous citerai ce théorème : Le nombre des normales communes à deux surfaces est égal au produit des nombres des normales qu'on peut mener d'un point à chacune de ces surfaces, augmenté du produit des nombres des normales contenus dans un plan. Le même théorème s'applique aux normales communes à deux courbes, ou à une courbe et une surface.

(!) [Œuvres d'Halphen, t. 1, p. 55.]

SUR LA

I. Je me propose de développer la théorie générale des éléments du deuxième, du troisième et du quatrième ordre en un point d’une surface, en prenant pour point de départ les changements de variables dans les dérivées paruelles.

Soient M, M'deux points sur une même surface. En M je considère la normale MZ et deux direcuions perpendiculaires dans le plan tangent, MX, MY. Ce seront trois axes de coordonnées X, Y, Z. En M', je considère trois axes de même définition et les coordonnées X”, Y’, Z”. Je lauisserai X, Ÿ, Z pour les coordonnées de M' relativement aux axes (M). Pour un autre point, je mettrai un indice. Ainsi X,4, Ÿ1, 2, seront les coordonnées d’un point M, par rapport à (M), et X', Y’, Z' ses coordonnées par rapport aux axes (M). On aura ainsi : |

RE (NT RO DCR NN V2 2) (1) OR NX) RC) Zi 2), lex — RO AO ON EE NN 07 NAN

Les cosinus directeurs sont liés par les relations connues. Les axes (M') sont entièrement définis par la position du point M' et par la direction de l’un des axes M'X’ ou M'Y". En sorte que, en tenant compte des relations connues, les cosinus sont des fonctions de

(1) Ce mémoire inédit (n° ? du rapport de Poincaré) est consacré à une exposition détaillée de la méthode pour l’étude de la théorie des surfaces qu'Halphen avait brièvement indiquée, en janvier 1875, dans une note des Comptes rendus de l’Academie des Sciences [ Œuvres, t. I, p. 333]. Certains des résultats qu’il contient ont été publiés par Halphen dans cette note, et dans ses communications à la Société mathématique du 28 avril 1875 et du 8 mars 1876 | Œuvres d’Halphen, t. 1, p. 362; ett. I, p. 417]. Le mémoire lui-même a donc dû être écrit en 1875-1876.

(Note des éditeurs.)

trois variables X, Y et #. Le point M' sera pris infiniment près du point M. Il sera variable. Les variations qui en dépendent seront représentées par 9. On aura alors les relations aisées à établir :

| Qi PL DE O; | CAVE 6 AN Ter Pa Nr \ f A! f OX + dP Æ 0, (2) ‘ HETLOS 6 es. Ÿ er sQ/ Re OP ONE = 10) Des. BE ARE l LEO) Br, TA LES de da" + Ÿy — 0.

js 4 1 71 A Et ensuite, avec la notation &ÿ"— ya” — (æy"), etc. : CAT DAY ENG “RE Gr NN DE he dr “y)= 0, à(a' y") = 84,

(Br)=0, GB y") = 28, (BY) = 1, (By) = 0.

Les équations précédentes laissent subsister, outre 04 qui est la variation d’une des variables indépendantes, les variations 09, df”. Ces dernières doivent s'exprimer par cette condition que le plan M'X'Y'est tangent en M à la surface. Le changement de variable va donc les donner.

Soient P,, Q, les dérivées partielles du premier ordre relatives à M, et aux axes (M), et P', Q'les dérivées relatives au même point M, et aux axes M”. J'exprime les premières en fonction des secondes. Pour cela, dans (1), je fais varier le point M,. J'ai : |

dX'= 0 dXi+ 86 dYi+y dli=(a + y P)dXi+(B + y Q:)dYi, dY'= x dXi+f'dY;+y dl; =(x + y P;)dXi+ (8 + y Q:1) dY;,

(3) az. a Axis B'dY: + y’ dZ: (Rae yP:) IX SAGE 10 dY: PRE DOUANES | Donc (4) RE ja Po EPS OR NPE)

Bt 7" Q1 =P'(B EyQ:1) HO (PH Y Qui

Si maintenant je fais coimcider M, avec M, P, et Q, deviennent Pet Q, et P'et Q' sont nuls, par hypothèse. Done, le point M’ étant d’ailleurs quelconque, j'ai

(5) d+yP=o, B+yQ—o.

Telles sont les équations exprimant que l’axe M'Z' est normal. J'en