RER SA LT
SUR LA THÉORIE DES SURFACES. 487 déduis, en supposant le point M’ infiniment voisin de M, (6) Sa SP ES 0 I GROS 0 20, et, par suite, Dé ou 6yi= dt).
Et ici (9) SO OX ENEOY MSP RDV ESS.
Ainsi, par les équations (2) et (6), (3), les variations de toutes les Ainsi, par les équat ROC ET t de toutes I quantités sont exprimées par celles de X, Y, «.
Il. Je veux maintenant exprimer les relations entre les dérivées du deuxième ordre R, S,T, et R'S'T". Je différentie encore les équations (3). PSE
TAXE dX,+ 8 &Œ\Y, + dÉ MZ; = (a+yP;,)dXi+(B+yQ:)dY; UIRIAX SE AS, dx aY, Tia: |,
d2Y'—1 d'X,+ 5" d? Y; ie Y d7Z; == (a+ YPyAZ2Xi+ (8 + y Q,)æZ2Y;
(8){ + y {[R1dXi+o2S;dX;dY;+T; dYi|, dinar Xit Bird = (pl) EX (PQ) da
+ J'TR: dX2-+ 981 dX1 dYi+TidY?| — PiŒX +0 Y RP RSR TX Un A NL TUE
Substituant à d?X’ et d? Y' leurs valeurs, ainsi qu'à dX’ et dY',et identifiant les coefficients de d?X, et d?Y,, j'ai les équations (4). Identifiant ensuite les coefficients des termes en dX°, ..., j'ai:
RP TP RO TER ESP) (ee y PTE Y Pa}, Si YP=YyQT=RaTYPH(B+YQ:) (9) HS a+yP)(Ræ+ y Q)+(B+r Qi) (+ 7P)] AC NEA CB PESTE RER PEMOIS RAGE TOURS Er ONE ET O1) ET (BY IQ):
Je fais maintenant coïncider M, avec M”, alors Pet Q' sont nuls ;| 1 et, en vertu de (5), mes équations (0) se transforment en :
TR RARE (a) Cr DT
(ro)| "38 = (ay”) (BYDR' + [(oy”) (87) + (Br) Ce yIS + (ay) (BY) T", TL OR AR ES CBC TE) SEE CETTE
où R',S', T' sont les valeurs des dérivées relatives aux axes (M) à l’origine M.
Si M' coïncide en M, on vérifie aisément, par les équations (2), que (io) seTédut A RARES ES NTEESTE
Mais si M' est infiniment voisin de M, les équations (10) différentiées vont donner les valeurs de ôR', 9S', ÔT', savoir :
| ÔR = ÔR'+ 28 Ôa’, (11) | ÔS —(T—R)ôx + ds, \ ÎT — ÔT —28S 04.
S1 À, B, C, D sont les dérivées partielles du troisième ordre en M, On à :
en sorte que (11) donne ôR/, èS', 0 T" en fonction de 5X, 0 Y, d4/. En particulier, si l’on suppose que les axes soient pris de telle sorte que S’ soit constamment nul (et, par suite, S est nul), on a
Alors la deuxième équation (LI) détermine 02! :
SIA AD SX D ECRN ÀL = —— ;,
LEUR et l’on a, en outre, ÔR'— ÔR = ASX + BY, (12 + Ss te dT' = OT — C9X + DOY.
IT. Faisons les mêmes opérations pour les dérivées du troisième ordre. J'ai : |
di X'= a WX,+8$8 BY;+ 7d1Z, = (z D YP1)dX;+(8+7yQ:) diY, oi AE AE avec
Ur R; dx, dX;+ S1 dX1d'Y;,— SdY; d'X, + T;,dY;:dY,;,
SUR LA THÉORIE DES SURFACES. 489 et ensuite :
dY'=x XX, +$ BY, +; dZ,; = (a+ y P;)BXi+ (8 + y Qi) BYi+ 3 YU + Y'V, dZ'=3"diX;+8"BY;+y"diZ, = (a+ YP;) Xi +R + y Q) BY +IVU+ TV PENSE OA Ve + 3[R'AX'd2X'+ S'dX'd2Y'+ S'dY'd2X' + T'AY'd?2Y'] + [A'4X3 + 3B'AX24Y + 3 C'aX'dY?+ D'AX3]; d’où Ag —4P— y) = Aa 2 PA) 3 Bla + y Pa )(a' + v'Ps) 0 CRE a Cr RE Di (a EP 1) + SR, [R'(«+yP;)y + S'(a' + YPoy— Car Pire ENere re PTS Big" yP— 7/9) = Aa + y PC + Qu) 2e Bi (24 P1)2(8y Q1)+ 2 (a + y Pi)(B+ YQu)(a+ y’ Pi) | er DICO) CRE REP + Ch Y P (By Q) + (ay Pi) P D (B'+ 7 Qi) —— RlyR'(B+yQ: )yS(8"+ y Q:) HV SiB+ y Qi) +Y TB + y Qu) +2 Sir R GE P)+ TSH PD VS (a+ yP;)+ y T'(x + y'P:) | :
€, se déduira de Ri et D, de Fe par le changement de P, en Q,, Q, en P,, dew en $, Ben, a en $, S'en «/, joint au changement
de A’ en D’, Si le point M, coïncide avec M, j'ai :
Y'A = (ay PA! 3 (ay) (a +") B' + 3(ay") (a/y"}2C'— (a! y") D' + 3RY"2{[ (ay) CyR'+ YS")+ (x 7 PL ASTEX il TB (ay) (Br"A' ul (By) + 2(ay") («y ) CE") | SAN a A Enter) CO | + (æ' CE" Habee (B CR + Y ST) + (87 ," }CYS'+ FT af) COR ETS EE GTS y TON:
Différentiant en supposant M’ infiniment voisin de M, j'ai :
DA = dA’+ 3Bôx + 3R(R'0y + S' 07") = I1'+ 3B dx +3R(R y + S 5’), 2B = AÔB+ÔB'+ 20 dx + R(S dy + T dy')+ 2S(R dy +S y’),
RAS 3BOX ES RCR EP CSN ÔB — 5B'+(2C — À) dx + 3RS ÈP +(RT+2582,0Q,
ot
PR md es
Vs”
dC —ÔC'+(D—2B)ô1+3TS 5Q +(RT +2S2)0P, 5D = 5Di—3C da LST(TSO + S5P).
LOUE GA = àA'+ 3B da + 3R3 OX, 5B — 0B'+(2C0—A)04+ RT25Y, ; ÔC — 5C'+ (D —2Bôx+ R?TÔX, 5D — ÔD'—3Cûx . +3T30Y.
IV. Les formules ci-dessus peuvent servir à l’usage de certaines coordonnées curvilignes sur une surface. Je vais en donner des exemples.
Je suppose que le trièdre coordonné mobile soit pris de telle sorte que S' soit constamment nul. (Alors R et T sont les inverses des rayons de courbure principaux.) On demande l’équation différentielle des lignes constamment tangentes à l’axe des X’ en chaque point M (c’est-à-dire un système de lignes de courbure).
Les équations (11), où je fais DŸ — 0, me donnent pour l'équation demandée
Si je suppose donc À et C exprimés en R et T, l'équation est ( Je dR A 15 SRE Re
à AL PQ
Appliquons ceci à une surface du second degré, On sait que, sur ces surfaces, la partie du troisième ordre est divisible par celle du deuxième, en sorte que
Aus+ 3Bute + 3Cuv?+ Dei 3(Ru+ Te?)(au + Ge),
quels que soient w et #. Donc AS FO EAN B— R8, ‘ D—3Tf, et (15) devient RIDER
an KR ges ARE PRE eme TT — 3 T” d’où, en intégrant, RUE
k étant la constante arbitraire. L'autre système de lignes de courbure:
sera T — ÆR3. Ainsi :
Le long d’une ligne de courbure d’une surface du deuxième degré, le rayon de courbure principal correspondant varie proportionnellement au cube de l’autre [Valson (|.
Sur la même surface du deuxième degré, les courbes qui, en chacun
de leurs points, ont r dir QI ER ntles polhodies de P $, pour direction Re ch so P
Poinsot [en vertu d’un théorème de M. de la Gournerie (?)|[. On à donc, d’après (12),
BdR = Af$dX+BE4AY=dX(AB—Bax)= 2RafdX, BdT = CS 4X+D8dY = 4X(CB — Da) =—2T28 dX, dR R
SR — d’où RT = .
aT > k
Ainsi :
Le long d’une polhodie de surface du deuxième degré, le pro-
duit des rayons de courbure principaux est constant. | De la Gournerte (*)].
Ces deux théorèmes peuvent être compris dans un seul énoncé: Prenons les courbes R = £T’”*, toujours surune surface du deuxième degré. Leur équation différentielle est
RUE ARTS AU d’où d\Y RO ETRT ce dX' 3m—18 Ainsi :
Sur une surface du deuxième degré, les courbes telles qu’en chacun de leurs points elles fassent avec une ligne de courbure un angle dont la tangente est proportionnelle à celle de l'angle de la polhodie qui passe au même point, sont telles que tout le long de ces lignes un.des rayons de courbure principaux est proportionnel à une même puissance de l’autre.
(CPE These, Paris) 185% pr10.]
(?) [Journal de mathématiques pures et appliquées, t. XX, 1855, p. 152; Trailede géométrie descriptive, 3° partie, 1864, p. 102.]
(*) [Ce théorème paraît aussi dù à Valson (/oco citato, p. 9).]
492 OEUVRES DE G.-H. HALPIIEN.
En parüculier :
1° St la courbe coupe la ligne de courbure sous un angle supplémentaire à celui de la polhodie (n —+-1), les rayons de courbure sont proportionnels tout le long de cette ligne.
2° Si la tangente de l’angle de la courbe est le triple de la tangente de l’angle de la polhodie changé de signe (m—o), un des rayons de courbure principaux est constant le long de la ligne considérée.
V. Je ferai le plus généralement usage du cas où S'= 0. Mais je tiens à donner des exemples des autres cas. Je suppose que le mouvement du trièdre soit réglé de telle sorte que ÔR’— 0, c’est-à-dire R'— const. En d’autres termes, l’axe M'X° est pris tangent à une secuon normale de courbure constante. D’après (11), on a alors
A OX + B ôY — 25 ü0’, Considérons la courbe dY'= 0, c’est-à-dire une courbe à courbure normale constante | Ribaucour (*)|.
D’après (3), j'ai dY'=c'dX;+ £'dY; +) dZ;; et si M, coïncide avec M,
dY'=x dX+P'aY +y dZ
et à dY'= 4x5 dX + $'ôdY +; ùdL
+ dX Ga dY 58 + dZ5y.
Mais ALEA0: dd = 0, AU, Bit x 1=70
Donc
à dY'= à dY + dX 1 ou
0 dY'= d'Y + dX 01.
Puisque dY°— 0, j'en déduis
CAN PEUT ou diY + dXÜx'—o avec À dX +28 0x = 0,
d’où d2Y A AXA USE
(!) [Comptes rendns de l’Académie des sciences, t. 80, 1855, p. 644.
SUR LA THÉORIE DES SURFACES. 493 d’où l’on voit que la courbe à courbure normale constante a pour AR ae 25 : ; rayon de courbure géodésique — —: Cette expression s'applique
A également au cas où R — 0, c’est-à-dire que c’est également l’expres-
sion du rayon de courbure d’une asymptotique. Nous pouvons déduire facilement de là Les théorèmes de Ribaucour et Beltrami. La surface étant
ee = (Ra?+ 292Y + Ty?) + a (AZ + RP RE PINS faune LI DA De ET coupons par le plan : — y tango; la projection est
vltansoi—
J tango — Rat
Pour que la section seit à sommet a l’origine, il faut que
PQ I et R 1 À he UN 0 d'où He, 2 tango 6 tang o 9 9 Pet SSD AIT Se ES et alors le rayon de courbure géodésique est — Ris est-à-dire que : ; P à
Le rayon de courbure géodésique de la courbe à courbure normale constante est les deux tiers de celur de la section tangente à sommet |Ribaucour (!)|.
Si la section est faite par le plan tangent et que R — 0, alors la courbe est
O=Say+=Tyt+ se (a+...) )
et la branche tangente à l’axe des x a pour développement
4e, : s k Donc le ravon de courbure est — ——, ce qui démontre le théoà À q Dent
rème de Beltrami (?):
Le rayon de courbure géodésique de l’asymptotique est les
(1) [ Comptes rendus de l’Académie des sciences, t. 89, 1835, p. C41.] (2?) [ Nouvelles annales de mathématiques, 2° série, t. IV, 1865, p. 258.]
deux tiers du rayon de courbure de la branche de section par le plan tangent qui lui est tangente.
Le mouvement du trièdre étant toujours réglé par la condition 2R'— o. les coordonnées seront alors S’et T' ou simplementS et T. Si l'on veut, par exemple, avoir l'équation différentielle des hignes à courbure normale constante R, on aura, en faisant dans (11) dY — 0,
A dX — 25 dx’, BaX —(T—R)d:+ 48, CaX = AT- 2840,
d'où. en éliminant dz' et dX, 2S dS AC
dr DAS SAIT -R} Les trajectoires orthogonales auraient pour équations différentielles
28 dS B = D:
dr. CS "BOT =R})
Si, dans ces équations, on fait R — o, on a les équatuons différentelles des asymptotiques et de leurs trajectoires orthogonales.
Supposons effectivement R — o, et considérons les courbes 54'— 0 ou À/— const.
D'après (14), on aura SA — GA'+ 3B ôx ER 38h 3 B? GdX+HdY —3Bèr = - x
les dérivées du quatrième ordre étant (G, H, J, K, M). Ainsi, la direction de la hgne A'— A, au point M, sera donnée par
Si l’on considère une courbe à inflexion
; I | Z — GAP te.)
A est le paramètre de l'inflexion. Les courbes X'— const. sont donc celles le long desquelles une des sections normales à inflexion a un paramètre constant. Parmi ces courbes se trouve celle pour laquelle le paramètre est constamment nul. Cette courbe est le lieu des points de contact de la surface et de ses droites surosculatrices. Ainsi, avec
les coordonnées actuelles, son équation est À — 0, et sa direction en un point est donnée par G aX + (u — =) D ME
À — 0, G— 0 marquent les points où la droite surosculatrice a un contact du quatrième ordre avec la surface. En ces points, on voit que la courbe À — 0 est tangente à la droite surosculatrice. |
Pour A — 0, S — 0, la courbe est également tangente à la droite surosculatrice.
Avec les mêmes coordonnées, considérons la courbe dS°— 0, c’està-dire S — const. Comme R— 0, on voit que RT — S? est constant. C’est donc la courbe le long de laquelle la courbure géodésique de la surface est constante. J’ai, d’après (11),
A dX +B dY = »S x BaX+CdY =T dx,
d’où (AT LBS)aX E(BT EL 308) d4Y— 0; Si S — 0, c'est-à-dire pour la courbe lieu des points paraboliques, cette équation se réduit à ; À dX + B dY — 0.
Si, en outre, À — 0, l'équation se réduit à dY — 0, c'est-à-dire que la courbe est tangente à la droite suroseulatrice. Ainsi :
La ligne des points paraboliques et la ligne de contact des droites surosculatrices se rencontrent tangentiellement, et tangentiellement à la droite surosculatrice qui passe au point de contact.
Ce théorème généralise celui-ci, qui est dans Salmon, et est dû, Je crois, à Cayley ('):
Si une surface contient une droite, cette dernière est tangente à la ligne des points paraboliques de la surface.
Sur les surfaces du deuxième degré, cette ligne, comme on sait, n'existe pas; sur les surfaces réglées, elle se réduit aux génératrices le long desquelles la surface réglée a le même plan tangent.
(!) [Ce théorème est donné par G. Salmon, 7reatise on the analytical geometry of three dimensions, 3° édition, 1874, p. 225, comme lui appartenant ( Cambridge aid Dublin mathematical journal, t. IV, 1849, p. 255).]
ru rt RCLATE ri
496 OEUVRES DE G.-Il. HALPHEN.
Sur chaque génératrice d’une surface gauche, il y a deux points (Mannheim?) en lesquels la seconde asymptote de l’indicatrice est . surosculatrice. Ces points appartiennent à la courbe ci-dessus sur les cénératrices le long desquelles le plan tangent est stationnaire. La rencontre est remplacée par le contact, la seconde droite coïncidant avec la génératrice.
VI. En faisant usage des mêmes coordonnées, on voit que À — 0 est l’équation des surfaces réglées. Elle entraîne G = o.
Celle des surfaces développables est S = 0; je verrai tout à l'heure quelles relations elle entraîne pour les À, B, ..., au moyen de nos coordonnées. Il est bon, comme vérification, de les trouver directe-
ment. Prenons TES 0,
et différentions :
r(b dx + 0 dy) +t(a dx + bdy)—2s(b dx + cdy)=0
donne
rc+at—2Ùs —0, rAo+bt—2cs = 0,
et pour 7 —0,Ss— 0, D 10; br 6:
Différentions encore en introduisant, pour abréger, les relations précédentes :
t(gdx + h dy) 210, d'où 2 NO LEO;
t(h dx + 7j dy)—o2cdy =, d'où lt] —20C2= 0.
Passons maintenant aux équations que nous employons 1C1. Avec R'= 0, S'— 0, les équations (11) donnent
A dX + B dY = 0, d'où AVE OH UDC:
CaY =T dx, ; C dX + D dY — àÔT. À N
La première équation se trouvant supprimée, il faut prendre, parmi les équations (14), G dX +- H 4Y = 0, d’où Ge QUO; J'ai, qui; comparé à. GadY=T dx; donne TJ Cr J:aX, LK AV SC ED da K dX + M dY = D —53C da.
On pourra prendre pour coordonnées T et C, avec les équations C dY = Ta CRD AN ENT 3 C2 “ = + r TT AXE AY = 40 ED dx La première question est celle-ci : quelle est l'équation générale
des génératrices rectilignes ? Ce sont les courbes dY — 0, c’est-à-dire que l’on à
HORS, \ CETTE » C2 | =. COSENTAES
\ d’où l’on conclut
tbe uis
FE ae Vete et, par suite,
(16) Cie AE
On va voir que l’équation (16) exprime cette propriété connue des surfaces développables :
Les centres de courbure géodésique des lignes de courbure sont sur l’arête de rebroussement.
VII. J’ai précédemment déterminé le rayon de courbure géodésique des courbes à courbure normale constante. L'emploi des formules donne lieu à un procédé général pour déterminer ces rayons pour des courbes de définition quelconque. Je suppose que la direcuon de la courbe en un point M, relativement aux axes employés, soit donnée par une relation
Fu, v, cosM, sinM) = 0,
où &w et # sont les deux coordonnées. En désignant l'arc par ds, et momentanément
cos M — = par Ë, UNS
sin M — AE par n,
Fe F(u,v,6, n)= 0.
En faisant varier le point M, j'ai
CS CR PSE RUE Pe Los. pe DT 0:
du AN PRE Cle trot
0F = 0 ou
Mais AX'= 2 Xi 8 dYi+ y di, el, par suite, 5 dX'= da, dXi-+ 06. dYi= dy. dit ».8dX3+ 8.0dV 1 + y.5dA.
Et en supposant M' infiniment voisin de M, D'ANE- 0 dX\; te 0B.dY:.
Si, en plus, le point M’ se déplace sur la courbe considérée, à 4X,
n'est autre chose que d?X.
Même observation pour à dY'; J'ai done, dans cette hypothèse,
0 dX' = dX + dY.56.
0 dY'—= d'Y — àdX.û8,
d'où <dX dx adY PUS ner LA OU dE — dé + d0.n, Fai donc è MAT SLT dE ARE D A (EF 570) Ta ou D oe + (En — DE) 06 + DE dE + PE du = 0.
Cette équation servira à déterminer les dérivées d£, dn, car on y pourra joindre ee qui s'exprime en Eetn, dé, dn. On pourra donc résoudre le problème. Jai en vue l’emploi de cette formule dans le cas où Fest homogène en cos M et sin M, ce qui d’ailleurs ne restreint pas la généralité.
Cette hypothèse étant faite, la formule (15) se transforme. En vertu de l'hypothèse, on a en effet
MDE ATP
AE Dan De
(18) Alors (179) peut s'écrire
in (TN Eds ai ET PO ET RUE AT
\ dE
Mais
est l'inverse du rayon de courbure géodésique cherché, En désignant ce rayon par &, J'ai donc
(19) — D AE Re —.
; HA ds ds \ du de a dE . dE
I suffira de remplacer dans cette formule Ôu, dv, 88 par leurs valeurs pour avoir le rayon cherché. Si F ne contient ni u, ni #, c’est-à-dire si la courbe considérée est la trajectoire (sous un angle constant) J g d’une courbe régulatrice du mouvement du trièdre, la formule (10) D ) do,
se réduit à
(20) ee ==
ni O2 TD
(arz F CN un CA
Or 56 sera de la forme U 4X + V 4Y, U et V ne dépendant pas de l'angle M. On aura donc — UcosM + VsinM.
Donc UR cos M + VR sin M = 1.
Donc, M variant, le lieu du centre de courbure est une ligne droite, Donc :
Si l’on considère plusieurs séries de lignes se coupant sous des angles constants, pour un point, leurs centres de courbures géodésiques sont en ligne droite (*).
Nous avons 1e1 le moyen général de déterminer le rayon de courbure géodésique des lignes directrices du mouvement du trièdre. Nous l’avons déjà fait pour le cas d’une ligne à courbure normale constante, Faisons-le pour une ligne de courbure. [1 faudra se servir des formules (11) en faisant, par exemple, ÔY — 0. On aura
CRE TX
HR
(1) Enoncé com nuniqué à la Société mathématique de France le 28 avril 1855 [Œuvres d'Haulphen, À. TI, p. 362]. (Note des éditeurs.)
d’où
pour le rayon de courbure géodésique de la ligne de courbure tangente à l’axe des X ; pour l’autre, en faisant ÔX = o, on aura
à condition de le changer de signe pour que son sens positif soit celui de l’axe des X.
Reportons-nous maintenant à (16); en faisant dans (22) R—o, nous avons pour (16)
Comme T est la courbure de la section principale, nous voyons que le rayon de cette section est proportionnel à R', comme cela doit être pour une surface développable.
