VIII. Nous emplovons les coordonnées S'—= 0. J'ai alors pto
dR'= À dX + B dY.
Donc la direction À 4X + B dY — 0 est celle dans laquelle la courbure principale R ne varie pas. Nous avons ainsi à considérer sur une surface les courbes lieu des points en lesquels une des courbures principales est constamment égale à une grandeur donnée.
La seconde direction, relative à l’autre courbure, est donnée par
AVR CGAXEED AY:
Si AD = BC — 0, les deux directions coïncident. Cela arrive en tous les points d’un lieu sur une surface quelconque. Si l’équation AD —'BC — 0 est vérifiée en tous les points d’une
surface, alors di dT
Cale
quelle que soit la direction Or g étant une fonction de R et T, je
vois que R et T sont liés par une relation. Ainsi, les surfaces dont 1l
” tt à md à lé
SUR LA THÉORIE DES SURFACES. 5o1ï
s’agit sont celles pour lesquelles on à R—%(F). Ces surfaces ont fait l’objet de nombreux travaux, notamment les surfaces minima RET—o.
Pour abréger, j’appellerai lignes (R) et (T) les lignes à courbure principale constante R ou T.
Si l’on pose | Ÿ = A dX3+ 3B dX? AY + 3CdX dY2+ DY5— 0,
on obtient les trois directions de sections normales surosculées par des cercles.
Soient N,, N>, N; leurs trois directions, et R la direction de (R); ja
B I À + COLUPOES VE a(cotNi+ CON: + cotN:), et de même C I tang(T) = — VS 3 CtangNi + tangN,-+ tang N3),
c'est-à-dire que la direction de (KR) est la conjuguée harmonique de la direction de la ligne de courbure R par rapport aux trois dire ections des sections N,, N;, N3.
Ainsi :
La direction dans laquelle une courbure principale est stationnaire est, relativement à la direction de la section principale qui a cette courbure, la conjuguée harmonique des directions des sections surosculées par des cercles.
Remarque.— Si la surface est gauche, alors © contient en facteur la direction de la génératrice rectiligne, et le théorème précédent subsiste, en remplaçant une des sections surosculées par la direction de la génératrice.
S1 la surface est du second degré, © contient en feu les directions des deux génératrices qui figurent alors pour N, et N,. Mais elles sont symétriques par rapport aux lignes de courbure. Donc N,—=—N, et les équations se réduisent à
RS I DOLER 3 — 3 CotN3, tang(T)— -tangN;, 9]
ce qui concorde avec un résultat précédent.
502 OEUVRES DE G.-H. HALPIEN.
Si la surface est développable, A et B sont nuls et Fon n'a à considérer que la ligne (T) de direction G 4X + D dY — 0; et lon a
{ 2 tang T= -tang N;, qui donne lieu au même théorème que sur les surfaces du second degré.
Sur les surfaces du second degré, comme sur les développables, la ligne AD — BC — o n'existe pas.
Revenons à une surface quelconque et supposons que, pour un point, on at B— 0. C’est le cas où le rayon géodésique de la ligne de courbure (R) est infini, c'est-à-dire que son plan osculateur est normal, ou que cette ligne est osculatrice à une géodésique. Nous voyons qu’alors la ligne (R) a pour direction dX — o, c’est-à-dire est perpendiculaire à la ligne de courbure R.
Ainsi :
Quand une ligne de courbure est osculatrice à une géodésique, la courbure principale est stationnaire dans la direction perpendiculaire.
C’est ce qui arrive constamment sur une surface de révolution. Les méridiens forment un système de lignes de courbure dont le plan osculateur est toujours normal, et le rayon de courbure correspondant reste stationnaire dans la direction du parallèle. Mais, le long du même parallèle, l’autre rayon de courbure est aussi constant. Ainsi, les surfaces de révolution sont des surfaces AD — BC — 0.
Sur une surface de révolution, dY — o étant la direction du parallèle, on a B— 0. Donc A ou D est nul. Ce n’est pas A; car alors le méridien serait un cercle, c’est donc D ; ce qui est, en effet, puisque CdX+ D dY —o [direcuüon de la ligne (T) en l’autre ligne de courbure |.
Les directions des sections normales surosculées sont alors
dX(A dx?+ 30 dy?) = 0.
L'une d’elles est tangente au parallèle. Les deux autres sont placées
symétriquement.
S1 À est le rayon de courbure du méridien, A A* est le rayon de
courbure de la développée du méridien ; Le second rayon de courbure £ I J
eu —gÿg— 6st la longueur de l’axe com-
prise entre la tangente et la normale au méridien.
principal est la normale EL, et
IX. Il est aisé par les formules ci-dessus d’avoir, au moyen des éléments du quatrième ordre, le centre de courbure géodésique d’une ligne (R). On n’aura qu’à employer la formule (19), qui donne ie1
Ù 08 oA' oB'\ sinM ÉTAT EE (: os M TS + sin Ms = .
D’après (14),ona A = G dX + H dY + 3B 58 — 3 R3 GX,
dB'= H 4X + J AY +(2C—A)58 — RT2 AY, d’où
VAS BE >(AC—B:) 5p R 4 y A2 SN bDatAd
+ (G— 3R3) cos? M + 2H cosM sin M + (J — R'T2?) sin? M.
