X. Sur la surface à courbures égales et opposées

Les asymptotiques y coupent les lignes de courbure sous l'angle de 45°. Donc les centres de courbure géodésiques des asymptotiques et des lignes de courbure sont en ligne droite.

Je dirige le trièdre par les asymptotiques. Jai ainsi Ro; Lio;

et HS représente les deux courbures principales. D’après (11), j'ai AdX+BdY—= ,28 du, BadX+CdY—= ds, CG dX + DAY = — 28 du’.

Ajoutant la première et la troisième, J'ai

AC— O, B + D — 0, d'où Np=#bQ— 0,

comme on devait le trouver. Ainsi

A+CG=eo, B + D — 0, BaX+CdY= ds.

AE SE RTE PRET ES ee V RICO nt SPRL OPEN OT TEE

Prenons maintenant (12) :

G dx + H dy = 01'+ 3B x, LL dx + I dy = 6B'+ (20 — A) 0x + 2 SX J dx +Kdy =0C+(D—2B)01 +2" 35Y

K dx + M dy = ÔD — 3C dv,

d’où, à cause de 8A’10C/= 0, dB +0D — 0,

(G+J) dx + (HU + K—283) 4Y = 0, (H+K—2S3) 4X +(J + M)A4Y = o,

d’où GT 0, EME 0 RG ME H+K—2S3—o, | H + K = 253.

Pour traiter un problème sur cette surface, on pourra prendre pour coordonnées, par exemple, S et À; on aura

AUXLEB dY-=0S 4e) BAXEAUINE AS;

GAXSE HAN = AA Bdé d8 da A cosM + B sinM ds PINERUT 2S

La droite qui joint les centres de courbure des trajectoires des

axes est DS ; > a =— (A cosM + BsinM).

Or æ = — 4 sinM, Pen ee dtve0s M:

d’où (253 Bzr— Ay = 28.

Ainsi — Ç est le rayon de courbure géodésique de la ligne asymp- . s T #} 5 . , c totique tangente à l’axe des X et celui de l’autre. Le rayon de cour- >

bure géodésique d’une des lignes de courbure est

yTs : : et de l’autre,