CA © (SA
à-dire CRETE B 4X — A dY = 0.
Ainsi :
La droite qui joint les centres de courbures géodésiques des asy rmptotiques, et aussi des lignes de courbure, est parallèle à la tangente de la courbe des courbures principales constantes.
La même propriété subsiste pour toutes les surfaces telles que la courbure moyenne y est constante R+T = const. (à l'égard de la droite qui joint les centres de courbure des lignes de courbure ).
XI. Jusqu'à présent, nous nous sommes bornés à considérer une seule surface. Nous allons maintenant étendre le cercle de cette étude en considérant d’autres surfaces obtenues en portant sur la normale en chaque point M des longueurs variables (t). Le problème consiste à déterminer les éléments du premier ordre, du second ordre, etc., relatifs à ces surfaces.
Les coordonnées de M' relativement aux axes mobiles sont 0, 0, 0, celles du point AL de la surface nouvelle seront 0, 0, 4, 4 étant une fonction des coordonnées de M’. Ainsi les coordonnées X, 7, x de M relativement aux axes fixes seront données par
jo=a (= X)+ 8 Y)+ 7 (&—2), ne da pe DEN XD Dé VENT 7)
En faisant varier le point M’, on fera varier le point AC. J'ai
0 = a(dX — AX) + B(AY — dY)
UE TN NO ace year (bi Zap:
ce qui, pour la position initiale, se réduit à 0 = dX — AX +0 dy = dX — dX HR IX — S dY );
et ensuite
(25) 0 = d\ — AY +80 dy = d\ — dY + 0(S 4X +T dY), ee l dû = dx.
(1) Comparez les autres notes d'Halphen sur le mème sujet : Œuvres d'Halphen, FT, D. 339, 399; 417. (Vote des éditeurs.)
La dernière équation montre que si Ü est constant, c’est-à-dire di nul, dé est nul, et le plan tangent à la surface (IT) est parallèle à celui de (M), ce qui est bien connu. Ainsi s’introduit la notion des surfaces parallèles.
=! [ Ex 4 2 6 = c Supposons S — 0, et ÿ — me La première équation (25) donne alors
dX = 0. Alors le plan tangent à la surface (HT) est X —o. Ainsi là surface des centres de courbure principaux a pour plan tangent le plan perpendiculaire à la section principale correspondante. Ou, en d’autres termes, la normale à cette surface en un centre de courbure principal de M est la parallèle à la tangente de la section principale menée dans le plan de cette section même. Ou encore, les normales à la surface (M) sont doublement tangentes à la surface des centres principaux. |
J'appelle 4 le centre de courbure principal de la section principale tangente à MX, et je rapporte la nappe (u) aux axes mobiles u£ parallèles à MX, u£ parallèles à MY, et un suivant la normale. En appelant
. . I I , . r C Aet L les rayons principaux =; T’ les équations (2) s’écrivent
R 4 Fr 7 À 7 É ACER O, oO = de — AN -+- TL" MX T
ou
DER ART. (KdX+BAYE
ELLE NAN nd =— = L dE (I (WTA di d G Re R>
En employant L et À, ou R et T, nous avons les deux formes d’équa- Uuons (26) | L AE =(L— A)dY, din =— AA dX + B dY), LASGTETONEES L)aX, dy =— L?(C aX == D'AX) z, ÿ, z étant les coordonnées analogues pour le second centre de courbure principal ». | Ces coordonnées sont celles de mes communicatons de janvier 1855 (t).|
Les mêmes équations s’écrivent avec R et T :
(RE SR = T)aN REA GX EAN),
