D (AM

Pour un cycle de la seconde catégorie, d’ordre et de classe n, le calcul précédent ne s'applique pas. Dans la première ligne du déterminant, les termes x? et y ont leurs parties principales du même degré 2; les parties principales des autres termes ont les degrés 0, 1, 3, 4. Il faudra donc, pour appliquer la même analyse, remplacer le terme y par une combinaison linéaire C :

< C=ax+ ay + a"xy + a"y?,

dont la partie principale soit de degré supérieur à 2 et différent de 3 et 4. Soit formée une telle combinaison; désignons le degré de sa partie principale par (5 + /), le nombre / pouvant être négatif et fractionnaire. La partie principale du déterminant est alors du degré /, et son ordre pour le cycle est {n. L'interprétation de ce résultat est la suivante : le nombre (4+/) marque l’ordre le plus élevé du contact qu’on puisse établir entre chaque branche du cycle et une conique. Ce nombre, pour une branche de courbe quelconque, est

ordinairement 4, et / est alors nul. Voici donc le résultat : S'ur une

courbe, de degré m et de classe à, si l’on envisage toutes les

branches ayant avec leurs tangentes des contacts du premier ordre, et avec des coniques des contacts d'ordre maximum différent de 4, et qu'on désigne par (4 + l) l’ordre d’un quelconque de ces contacts, on aura

De > l=15p—18m+Ù (on — 49),

la dernière sommation s’appliquant à tous les cycles où le contact avec la tangente n'est pas d'ordre égal à l'unité. En vertu de la relation (22), on peut écrire la même égalité sous diverses formes, parmi lesquelles la suivante : |

(23) Si (ntu)+2 (a),

où la dualité est mise en évidence.

Nous venons d'obtenir ainsi le nombre des points sextactiques Un point sextactique est l’origine d’une branche simple ayant avec une conique un contact du cinquième ordre. Pour un pareil point, l'est égal à l’unité.