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SUR

1. Les courbes dont je vais m'occuper ont été depuis longtemps étudiées dans de nombreux et importants mémoires. Elles jouissent d’un grand nombre de propriétés géométriques et mécaniques, relatées dans un travail qu'a publié récemment M. Haton de la Goupillière (/Vouvelles annales de mathématiques, mars 1856). On peut les définir par l’une de ces propriétés : ce sont les courbes planes dont le rayon de courbure en chaque point est proportionnel à la normale polaire. Cette définition conduit aisément à leur équation générale en coordonnées polaires, sous. la forme

(1) rt = cos ub,

dans laquelle & est une constante positive ou négative. Toutes les fois que w est un nombre commensurable, la courbe (1) est algébrique. Considérée de ce point de vue, les particularités qu’elle offre, comme courbe algébrique, n’ont pas encore été étudiées. C’est cette étude que je me propose de faire 1c1. La nature arithmétique du nombre u, comme on doit s’y attendre, y jouera un rôle important.

2. Les courbes (1) jouissent de la propriété suivante, qui est bien connue et facile à retrouver :

La podaire de la courbe (1) relativement au pôle, c'est-à-dire le lieu des projections orthogonales du pôle sur les tangentes de la courbe, est une courbe de la même famille, pour laquelle la nou-

(:) Note communiquée à Ia Société mathématique de France, dans sa séance du 19 avril 1876, mais non publiée. Voir Bulletin de la Société mathématique, t.1V, 1875-1876, p. 151, l'annonce de cette communication. (Note des éditeurs.)