NA

velle constante u est donnée par \ f 58 — = — —+— I, ( / L'

Si, dans l'équation (1), on change le signe de u, on change ainsi la courbe en sa transformée par rayons vecteurs réciproques. Par suite, on peut déduire de (2) cette conséquence : St u et n, sont liés par la relation

54 met Pis Me,

les deux courbes se correspondent point par point. En prenant les deux signes inférieurs dans le second membre de (3), on a, pour la seconde courbe, une corrélative de la première.

Je suppose maintenant que à soit un nombre commensurable, si Les deux entiers b, a seront ici supposés premiers entre eux, b positif, & positif ou négatif. L’équation (3) donne alors

I Be à Je of

et montre que, pour u,, le numérateur à n’est pas changé. Je vais immédiatement étendre ce résultat en démontrant que :

Tuéorime 1. — Pour deux valeurs de 1: ayant le même numérateur, on obtient deux courbes se correspondant point par point.

9. En posant Ü— aw, je déduis de (1) les expressions suivantes des coordonnées rectangulaires d’un point de la courbe, en fonction de la variable auxiliaire w,

(4 æ = cosaw.(cosbw)? = sinaw.(cosbw), Û ; 44

Il faut avoir soin d’observer que, dans ces deux équations, la racine d'ordre à doit être extraite de la même manière, en sorte qu’à chaque valeur de w répondent b points différents de la courbe. Mais on voil aisément qu'à chaque système de valeurs de + et y satisfaisant à (4), correspond une seule valeur de w, et aussi une seule déterminaluon de la racine d’ordre b. Si done on considère une seconde courbe, obtenue en changeant dans (4) la valeur de l’entier a, les

points de cette seconde courbe correspondant uniformément à ceux de la première pour chaque valeur de w et chaque détermination de la racine d'ordre b. Donc les deux courbes se correspondent point par point. Donc le théorème L est démontré.

4. On trouve très aisément le degré de la courbe (1) de diverses manières, parmi lesquelles voici la plus rapide. Supposons & négatif. La courbe ne passe pas au pôle. Son degré est alors égal au nombre de ses points sur un rayon vecteur quelconque. On voit immédiatement que ce nombre est égal à ab (pris en valeur absolue). D'ailleurs la courbe ne passe pas aux points circulaires de l'infini. Donc sa transformée par rayons vecteurs réciproques, le pôle n'étant pas sur là courbe, est de degré double. Donc, si a est positif, le degré de la courbe est 2ab.

Nous savons (n°2) que certaines courbes corrélatives des courbes (1) sont de la même fanulle. Donc sachant déterminer le degré, nous savons aussi trouver la classe. Faisant le calcul, j'obtiens les résultats réunis dans l’énoncé suivant :

Tuéorëème Il. -- La constante à étant égale à la fraction tirré-

; b ! ape : duetible =: 1° si a est positif, le degré de la courbe (1) est 2ab, ”. |

et sa classe b(a+b); 2° st a est négatif et égal à — «, le degré de la courbe est «b et sa classe est 2b(a— b) ou b(b— ax), suieant que & est supérieur ou inférieur à b.

9. Des théorèmes I et Il, je puis conclure le genre des courbes considérées. D’après le théorème I, en effet, cet élément ne dépend que du nombre b, et il suffit de le connaître en supposant une valeur arbitraire pour a. Je suppose a ——1. D’après le théorème IH, la courbe est alors de degré b et de classe b(b — 1). La comparaison de ces deux nombres montre qu’elle ne possède aucun point singulier. Donc :

Taéorkme HE. — La courbe (1) correspond point par point à une courbe n'ayant aucun point singulier, et dont le degré est égal au numérateur b de la constante 11. Par suite, son genre est égal

A tue |

En particulier, si b est égal à 1 ou à 2, la courbe est unicursale. On peut, au moyen de la formule (3), voir directement que toutes les courbes répondant à ces deux valeurs de b se déduisent soit de la ligne droite, soit de l’hyperbole équilatère, au moyen de la transformation par rayons vecteurs réciproques, de la transformation podaire et de la transformation inverse de cette dernière.

6. Par les théorèmes IT et ITE, j'ai, dans tous les cas, le degré, la classe et le genre de la courbe considérée. Je vais maintenant chercher directement quelles sont ses singularités, et par là obtenir de nombreuses vérifications des résultats acquis jusqu’à présent dans la théorie des points singuliers des courbes algébriques planes.

J'étudie, en premier lieu, en partant des relations (4), les affections de la courbe correspondant aux valeurs de w qui font évanouuir le

«te

facteur 1rrationnel (cosbw)”. Ces valeurs de w sont en nombre égal à b; car on voit aisément qu'il suffit, pour obtenir tous les systèmes de valeurs de x et y, de faire varier w dans l’étendue d’une demi-

circonférence. Soit w, une de ces valeurs : je remplace w par (w,+e),.

et je déduis de (4),

a J'= yCosawi— xsinaw;—=(+sinbe)/sinae, «

z'=y SiIP4Wi+XCOSAaw —=(E sinbe)?cosa Es

S1 l’on remplace, dans ces dernières équations, e par (0, on a, pour les valeurs infiniment petites de £, les expressions de y’ et de x sous la forme de deux développements convergents suivant les puissances entières, ascendantes et positives du £, dans le cas où a est posiuf.

Le développement de y commence par un terme de degré (a+b); celui de x’ par un terme du degré a. Donc aux valeurs de w infiniment voisines de w,, correspond, sur la courbe, un système circulaire composé de a branches, dont l’origine est le pôle et dont la tangente commune est la droite y — 0, avec laquelle chacune de ces branches

a un contact de l’ordre = (ae Les mêmes conclusions s'appliquent

également aux autres valeurs de w qui font évanouir cos bo.

(*) Voyez dans le Bulletin de la Societé mathématique, t. IV, p. 30, la définition des systèmes circulaires. [ Œuvres d’'Halphen, t. I, p. 378.]

. Nino ion ie x D l 2 nt nd PRE EE GONE Cage ES Qc ECO a RE Er 5 >

tt

SUR UNE FAMILLE DE COURRBES PLANES. Bb

Dans le cas où & est négatif, une transformation homographique montre quelle est la nature des branches intinies correspondant aux

valeurs de w infiniment voisines de w,. Soit donc a =— 4; je déduis de (5) AT Xe (6 sinbe)2 ; T | COS UE [ Ve a = tanp us.

Ces dernières équations donnent pour X et Y des développements suivant les puissances ascendantes, entières et positives de #, commençant, le premier par un terme de degré a, le second par un terme de degré b. Ces développements caractérisent un système circulaire de branches dont la tangente est la droite X — 0, si à est supérieur à b; ou la droite Ÿ —0 sic est inférieur à bd. Le nombre de ces branches est d’ailleurs le plus petit des deux nombres, 4, b.

En revenant donc à la courbe proposée, j'ai :

1° So est supérieur à D, un système circulaire de b branches,

b 3 2° Si o est inférieur à b, un système circulaire de x branches,

ayant avec la droite de l'infini chacune un contact d'ordre

ayant chacune avec l’asymptote commune un contact d'ordre d :

Dans les deux cas, le nombre total des intersections de ces branches avec la droite de l'infini est égal à «.

Le nombre total des systèmes circulaires analogues, ou points à l'infini sur la courbe, est b; on a ainsi le nombre total by des intersections de la courbe avec la droite de l'infini.

J'ai, dans ce qui précède, comme Jje le ferai dans la suite, omis le cas où u est égal à l’unité positive ou négative. Dans ce cas, la courbe est une ligne droite ou un cercle.

7. J’étudie, en second lieu, les affections de la courbe qui correspondent aux valeurs infinies de cosbw, affections purement imaginaires, mais qui n'en jouent pas moins un rôle important. Après avoir posé

NX

A 1+ÿ—rtange \ (6) (une | ne

KES ASS La ni u)

on déduira facilement de (4) les équations suivantes :

rs 1+ z\0 ; — 1+3\0 (5) '=s+V—iy=( *) ; d=a—V—iy=( | .

Comme z s’annule quand tango est égal à ÿ— 1, j'étudierai la nature de Ia courbe pour les valeurs infiniment voisines. Je pose donc

tango — Vi an

Aux valeurs infiniment petites de { correspond, pour z, un développement procédant suivant les puissances entières et ascendantes de {, et commençant par un terme de degré b.

Soil, en premier lieu, a positif. Alors +" est infini, y” a une valeur finie pour 5 — 0. On voit donc qu’il s’agit de branches infinies dans la direction y'—o, c’est-à-dire aux points circulaires à infini. Je fais une transformation homographique en posant