TIR

dont l’origine est le point x"= 0, y'—(2})". La tangente est alors la droite représentée par la seconde de ces deux équations. Elle change pour chacun des systèmes circulaires correspondant aux diverses

racines d'ordre b; mais les diverses origines sont sur la droite x”= 0.

8. On peut résumer comme 1l suit les résultats obtenus dans les os 6 Los f n LOLEÉ

Faéoriue IV.— 14 >> 0.— En trois points, dont l’un est le pôle, et dont les deux autres sont les points circulaires à l’infint, la courbe présente les mêmes circonstances, savoir : elle y possède b tangentes distinctes; chacune de ces tangentes a des contacts

7 2 b e A d'ordre — avec & branches de courbe, formant un seul système

circulaire.

2 a——0,a >>b.— À l’égard de trois droites, dont l'une est la droite de l'infini, et dont les deux autres sont les asymptotes de cercles menées par le pôle, la courbe présente les mêmes circonslances, savoir : une quelconque de ces trois droites touche la courbe en b points. Chacun de ces points est l’origine d’un système cérculaire de b branches ayant avec cette droite des contacts

Ba——u, 0<a<b.— A l'égard d'une quelconque des trois

d'ordre

mêmes droites, la courbe présente les circonstances suivantes : b points différents de cette droite sont les origines d'autant de

systèmes circulaires, composés chacun de « branches ayant avec b—a

la tangente du système des contacts d'ordre -

J'ajoute que : la courbe ne possède pas d'autre branche superlinéaire, c'est-à-dire système circulaire de plus d’une branche.

Pour prouver cette dernière assertion, J'observe d’abord qu'aux environs de toute valeur de w autre que les précédentes, les équations (4) donnent pour # et y des fonctions synectiques de la variation de w. On ne pourrait donc obtenir de nouvelles branches superlinéaires que si, pour certaines valeurs de w, les dérivées de x et y, par rapport à cette variable, s’évanouissaient en même temps. Il suffit de former ces dérivées pour reconnaître que ce fait ne peut se produire ; car on a

dx ca ee

RTE An PCR AE + D UNE. n ] a(cosbw) ? sin(a + b )w, à a(cosbo) cos(a+b)o

9.11 convient de faire sur le théorème IV la remarque suivante. Il se présente deux cas dans lesquels la courbe considérée ne possède aucune branche superlinéaire, savoir : 1° si b est égal à l’unité; 2° si a est égal à l’unité négative.

Le même théorème donne lieu à deux vérifications de la théorie générale des points singuliers. Pour la première, j’observe d’abord que certaines courbes corrélatives des proposées étant de la même famille, on peut conclure le résultat suivant : en dehors des singularités ci-dessus, la courbe ne présente en aucun point avec sa tangente un contact d'ordre différent de l'unité. J'ai, en diverses occasions (1), démontré la formule suivante, due à

M. Cayley :

(9) E(t—1)=3(c— mm), dans laquelle m et c sont la classe d’une couche algébrique, : l’ordre

du contact d’une branche de cette courbe avec sa tangente, etle signe sommatoire s'appliquant à toutes les branches pour lesquelles 1 dif-

(1) [ Voir, par exemple, Œuvres d’Halphen, t. I, p. 397.]

fère de l'unité. C’est la formule qui donne le nombre des points d’in-

flexion d’une courbe algébrique plane quelconque.

Pour les courbes considérées ici, le premier membre de (9) est, d’après le théorème IV et la remarque que je viens de faire :

1° di 0 : 30(b— a); 24 = 0 L'ÉENE : 3b(a— 20):

39 AG DS ba OS bb),

En nous reportant au théorème IT, nous trouvons les mêmes nombres pour le second membre de (0).

La seconde vérification concerne le genre de la courbe envisagée. J'ai démontré en diverses occasions (1) la formule

dans laquelle #77 et c sont le degré et la classe d’une courbe et p son senre, et où » désigne le nombre des branches de la courbe comprises dans un même système circulaire. Le signe sommatoire s’applique à tous les systèmes circulaires propres, c’est-à-dire pour lesquels » est supérieur à Punité.

Dans les trois cas désignés aux théorèmes IL et IV, les éléments

fournis par ces théorèmes donnent, pour le second membre de (10), b(b — 53). J'en conclus :

TE CP DCR:

ce qui est conforme au théorème IF.

10. En outre des singularités précédemment étudiées, les courbes dont je m'occupe ont aussi des points doubles ordinaires. Un point double proviendra de deux valeurs différentes de w fournissant pour æ et y [équation (4)| le même système de valeurs. La recherche de ces points ne présente pas de difficulté, et je me contente de donner ie1 le résultat.

Toutes les valeurs de w donnant lieu à des points doubles sont

(1!) [ Voir, par exemple, Œuvres d'Halphen, t. I, p. 316.]

)22 ŒUVRES DE G.-H. IHALPHEN.

comprises dans la formule

TÔT (as +r)Or —

PO Ne Se RS Re Vs [ Sin

TI, an D 9 5 rOT

(25 + r)br

eos

sin

dans laquelle r et s sont des nombres entiers arbitraires. Le nombre r ne doit pas recevoir la valeur zéro, qui donnerait cosbw —o; le nombre s ne doit pas recevoir la valeur zéro, ni les valeurs qui don-

neraienL TS 0 (mod «);

car on obüendrait ainsi tangbw = + ur On a donc toutes les valeurs convenables en donnant successivement à r les valeurs 1,2, ... (aG—1), et simultanément à s les valeurs comprises dans le même groupe; et en ayant soin d'éviter la valeur (a — 7).

De là résulte, pour le second membre de (11), (a —1) (a—2) valeurs différentes, et, par suite, b(a —1)(a— 2) valeurs pour w. À chacune de ces valeurs répondent à systèmes +, y. Chaque point double est ainsi répété deux fois. Donc : la courbe considérée a,

; eus ; I | outre les singularités ci-dessus, - b?(a —1)(a— 2) points doubles “ 2

ordinaires. À peine est-il besoin de remarquer qu'ici & doit toujours être pris positivement.

On peut aisément trouver, parmi ces points doubles, ceux qui sont réels. Pour obtenir un pareil point, il faudra que l’on prenne, pour (2s<+7), la valeur & ou la valeur 2a. Le nombre des combinaisons favorables est égal à celui des nombres pairs dans la suite

1,2, ... (2a—1), le nombre & étant excepté. On voit donc que ce

; ; dæ—I NL nombre est égal au double de l’entier [— |) . Ainsi le nombre des * 2

à : à ; TTL.

valeurs réelles de w donnant lieu à des points doubles est 20 | |

Si est un nombre impair, chaque valeur réelle de w donne lieu à une racine réelle d’ordre b. Si, au contraire, b est un nombre pair, la moitié seulement de ces valeurs donnant lieu à des valeurs positives pour cosbw, la moitié seulement de ces valeurs de w fournit des points doubles. Mais alors il y a deux racines réelles d'ordre b. Donc

r r . f A —"1] en résumé : le nombre des points doubles réels est | L

a étant pris positivement.

SUR UNE FAMILLE DE COURBES PLANES. Et

11. Je connais maintenant toutes les singularités de la courbe et je peux, en conséquence, calculer directement sa classe. J’aurai ainsi de nouvelles vérifications.

À l'égard de l’abaissement de la classe dû à un point singulier, les singularités mentionnées au théorème IV sont placées dans des cas très simples. Les éléments trouvés jusqu'à présent y suffisent pour le calcul. On sait, en effet, que :

L'abaissement produit dans la classe d'une courbe par un point singulier multiple d'ordre r est égal à r(r —1), plus le double de la somme des ordres des contacts des branches de la courbe entre elles en ce point.

1a>>0,— D'après le théorème IV, chaque branche d’un des systèmes circulaires a, avec la tangente, un contact d'ordre ee Mais de ce que le système circulaire comprend précisément & branches et de ce que «& est une fraction irréducuble, il resulte aussi que deux quel-

À ; bd conques de ces branches ont aussi entre elles un contact d’ordre n.

Donc, en l’un quelconque des trois points singuliers, la somme des

ordres des contacts des branches entre elles est b re D.

D'après l'énoncé ci-dessus, ce point abaisse la classe d’un nombre

d'unités égal à ab(ab—1)+ b?(a—:;).

b2 ÉTAT =—— 9.) .

Eee points dou-

J'ai trois points analogues et, en outre, bles. D’aulleurs le degré est 2 «b. Donc la classe est ce = 2ab(2ab —1) — b?(a—1)(a — 2) — 3ab(ab—1)—3b2(a—1)—=b(a+b),

résultat conforme au théorème If.

2 a——a,a >> b. — ['abaissement produit dans la classe par les singularités énoncées au théorème IV se calcule comme précédemment et est égal à 34b(b — 1). Le degré est zb et la classe est

c—=b(ab—;1)—3axb(b—1)—bix—1)(x— 2) = 2b(a—b), résultat conforme au théorème IE.

2 0 CR . FT É S 4 " A % 4 3° a—œ—a, 0 <a<<b. — Les points singuliers mentionnés au

théorème IV produisent dans la classe l’abaissement 3b?(4 — 1), et la classe est

c—2b(ub —1) —3b?2(x —1) — b?(a —1)(x— 2) = b (D — x),

résultat toujours conforme au théorème Il.

12. Il est facile d'appliquer aux courbes dont il s’agit 1c1 Les résultats généraux que j ai obtenus ailleurs au sujet des développées des courbes algébriques. Les degrés, les classes et d’autres éléments géométriques, tels que le nombre des sommets, etc...; des développées successives d’une courbe algébrique varient d’abord suivant les lois les plus diverses. Mais, quelle que soit la courbe initiale, 1l existe toujours un rang déterminé à partir duquel la loi de variation est toujours la même, celle des termes d’une progression arithmétique. Pour les courbes dont il s’agit ici, le calcul de ce rang et de la raison de la progression se fait sans difficulté et j’en donnerai le résultat seulement :

1° a > 0.— Le rang à partir duquel a lieu la loi régulière surpasse

b b gnant par m;, C; le degré et la classe de la développée de rang £, on a

ne à a a Le de deux unités l’entier contenu dans -: En posant À — [3] , ét dési-

MD ab; co = b(a+b),

et le degré et la classe de chaque développée sont m, et c,, comme pour la courbe, tant que le rang est inférieur à (4 + 1). On a ensuite

mx = bTa+(k+rd], Chan tchat)

My+s = bla+(k+o)b], Cr+» = (k+oa2)b?,

et ensuite, à l'infini,

Mk +3 — b [a —- (/e —- 3) be Ck43 = (A —- 3) b?, Ne PSS m;=b(a+ib), Co tb?

La progression arithmétique a pour raison b?.

2° a—— 4, 4 >> b. — La loi régulière commence à la courbe elle-

AS es É te 2 0er Rs les CE da 2 dé ct, PE OR A Ca pu Yale Vo ne CS Mu: AS 4 Le CL CA: ? NW ss à ' ue PTS ; Te > ff t |

même. La raison est encore égale à b?. On a done, quel que soit le rang 4,

mi = ab + 1b?, C;= 20 (x — b) + 102.

3°a—=— 4, 0 <T a b.— La loi régulière commence à la première

développée et la raison est encore égale à L?. On a

FOMETR 0 c = b(b— x),

M = œb + b?, Ci 0?

m; = ab + 10?, Cet bE,

De là cette conséquence singuhère : st deux courbes de la famille envisagée sont obtenues au moyen de deux valeurs égales et de signes contraires de pb, leurs développées de même rang sont du même degré, pourvu que ce rang soit supérieur à h. St, en outre, u est supérieur à l'unité, les développées de même rang sont aussi de la même classe, pourvu que le rang soit supérieur CRÉES RIRE

Malgré ce rapprochement, 1l convient de remarquer que ces deux développées sont cependant très différentes.

13. La symétrie qui existe dans le rôle, soit de trois points, soit de trois droites, vis-à-vis des courbes (1), et qui est mise en relief par le théorème IV, peut aussi être aperçue immédiatement comme :1l suit.

Après avoir posé

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