GE) -) (GE

X=U + YU Z-h— 0,

Cette équation met en évidence la symétrie du rôle que les sommets et les côtés du triangle de référence jouent relativement à la

| GAS À DS LE 4 Û courbe. Elle pouvait d'ailleurs être immédiatement obtenue par l’application d’une remarque faite par M. Salmon au sujet de la transfor-

mation de M. Roberts ({igher plane curves, 2° édition, p. 30o1)(1).

(*) Dans l'édition française du Traité de géométrie analytique (courbes planes) de Sahnon (Paris, Gauthier-Villars, 1884), la remarque en question se trouve à la page 438. (Note des éditeurs.)

mt) —

SUR

[. Dans une des démonstrations les plus simples de la loi de réeiprocité (?), on a recours à la formule suivante :

‘. | |F A AE Es | ? ’ P : eTedetrel Î P # Le P) -— ] ee

[12] 22 Ro EE

dans laquelle p et 4 sont des nombres entiers impairs premiers entre eux et dans laquelle aussi le symbole | x] désigne le plus grand entier positif au plus égal à x. La démonstration habituelle de cette formule est assez simple. Cependant on ne jugera peut-être pas inutile d’en avoir une nouvelle, fondée sur des considérations différentes, comme on va le voir.

(!) La présente note à été rédigée d’après deux manuscrits inédits d’Halphen. L'un, intitulé Quelques formules d’arithmétique, est subdivisé en cinq paragraphes formant des recherches séparées et qui semblent avoir été surtout des projets d’études. L'autre, intitulé « Sur une formule d’arithmétique, par M. Halphen tocanoé du. 2,06 00 ) » est sous une forme plus définitive (tout au moins dans les premiers feuillets) et semble se rapporter à la communication faite par Halphen à la Société mathématique de France le 16 mai 1877 (voir Bulletin de la Société mathématique, 1. V, 1876-1857, p. 129). C’est ce second manuscrit qui a été suivi dans la présente note; on a cru bon toutefois d'y incorporer quelques résultats et démonstrations du premier.

Comme le dit Halphen, beaucoup des résultats qu’il indique sont connus (Édition francaise de l'Encyclopédie, 1-17, article de Bachmann-Maillet, n°° 9 à 15 inclus), mais la simplicité et l’élégance de ses raisonnements ont paru en justifier .amplement la publication. (Note du rédacteur.)

(*) Troisième et cinquième démonstrations de Gauss. (Vote du rédacteur.)

Leume. — St «a est un entier positif et x un nombre positif quélconque, on à loujours

tas El TT re

Le premier membre est en effet une fonction de x qui est nulle

tant que æ est inférieur à l’unité, et qui, lorsque x se change en x +1, s'augmente de

Donc cette fonction n’est autre que [éc (ae

Démonstration de la formule (1). — Si, dans la formule (2), on fait iq

M me ETS il en résulte

ps EAN ; .

GR [= | = D ji +i]

ASE PERS.

Désignant par M la première partie du premier membre de (1), on conclut de (3)

> Si

Or |: + | est nul, dans les limites marquées pour £, tant que

‘ + ; | Ê J n'est pas au moins égal à < (q +1); on peut donc remplacer ; par

— j et ne faire varier le nouvel enter 7 au’entre les limites 1 J q

(*) La formule est encore exacte, d’après le raisonnement même, pour æ négatif, à condition d'appeler [x] le plus grand entier, positif ou négatif, au plus égal à æ.

Cette formule a été donnée par Hermite dans un article des Acta mathematica, 1884-1883, p. 295 à 330. Dans cet article, postérieur au manuscrit d'Halphen, Hermite emploie la notation E(x), déjà utilisée par Liouville en 1860, au lieu de la notation [æ |]. (Note du rédacteur.)

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et 2, d’où É »