HA

Semblablement en désignant par N la seconde partie du premier membre de (1)},ona

p—1 T1 EN et Lcd N= VU Y +):

dard pe q

FELAT varient entre les mêmes limites dans les deux expressions. En associant dans la somme MN les crochets correspondant aux mêmes valeurs de #, J,ona

ji + ete] e ets cor + ur LP q P #h q

= 2 —(wù + w');

w et w’ sont des nombres positifs inférieurs à 1; leur somme, étant un nombre entier d’après cette égalité, est égale à 1 ou o. Elle ne pourrait être nulle que s'ils étaient séparément nuls, ce qui exigerait que

PHONE A fût entier; comme la parenthèse du second membre est inférieure à 1, il faudrait qu’elle fût nulle, ce qui exigerait que z et 7 fussent proportionnels à p et g. Ceci n’est pas possible, puisque p et q sont premiers entre eux, et 6 + w' est égal à 1.

Donc à chaque terme de M est associé un terme de N, tel que leur somme soit égale à 1; par suite l’un de ces deux termes est nul, l’autre est égal à l'unité. Dans la somme MN, il y a ainsi autant de couples que M possède de termes, c’est-à-dire

Fac D 4 PEN

Seconde démonstration de la formule (1). — Soient x un nombre entier positif donné et y un nombre entier positif assujetti à vérifier

l'inégalité

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