Exemples des formules (22) et

Exemeze 1. — Soit la courbe représentée en coordonnées homogènes par

Ses points singuliers sont, l’un au sommet x — 3 — 0; cycle

- B) ()=(£)+.. == Wi—= 2; PU NT |

ie [or

Y 51 Te \2 TC = FE + à , Ni = V9 = 2.

Du sommet x — 3 —0o on ne peut mener aucune tangente hormis celle du cycle qui a cette origine. Donc = rt +vi=5. D'’ailk leurs ym=5. D'après (os), 3(u—mMm)—(v,— 71) étant égal à r, il

LOT PERL al

yaun point d'inflexion. Cela fait done un autre cycle n3=1,v3= 2. La formule (23) donne, au second membre, — 3. Pour le second cycle l’élément / est — 5. Donc il y a deux points sextactiques.

ExEmpLe 2 :

XP y1 == 3 R4-4:

Les nombres p, q sont entiers et premiers entre eux. Cette courbe, qu'on peut appeler anharmonique à cause de ses propriétés (!), se reproduit elle-même par une 1nfinité de substitutions homographiques, conservant le triangle de référence. Il en résulte qu’il ne peut y avoir ni point d'inflexion, ni point sextactique, hormis les sommets de ce triangle. La classe est égale au degré, attendu que la courbe est sa propretGorrelative, Les sommets T—z—0.et 7 —z2—0 sont les origines de deux cycles corrélatifs dont les ordres sont p et g, les classes g et p. On a donc bien zéro au second membre de (22). En outre, la somme des nombres 7 + est 2(p +g) ou m1, et l’on a zéro au second membre de la formule (23).

34. Par les deux applications des n° 31 et 32, on a vu comment la

formule (21) est propre à faire connaître le nombre des points où les éléments infinitésimaux d’une courbe satisfont à une relation projecuive donnée. Dans ces deux applications, la relation était exprimée par l’évanouissement d’un invariant. S’il s’agit d’un covariant, c’està-dire si la relation a lieu entre la courbe et une figure donnée, il y a place pour une discussion. On doit examiner : 1° quels sont les éléments du nombre Q qui proviennent de points invariables sur la courbe quand la figure varie; 2° quels sont les éléments qui, au contraire, proviennent de points variables avec cette figure; 3° comment enfin ces éléments peuvent se confondre pour des situations particulières de la figure et de la courbe. Cette dernière partie de la discussion doit être réservée pour chaque cas particulier. En la laissant de côté, on se trouve en présence d’un problème général bien défini. La figure est représentée par quatre points, comme il a été dit au n° 28. Ces quatre points, dont un au moins existe dans le covariant, sont laissés

(!) Fouret, Sur quelques propriétés des systèmes de courbes; et Intégration géométrique (Comptes rendus,t. LXXVIIT, p. 1693 et 1837).

Klein et Lie, Ueber vertauschbare lineare Transformationen (Math. Ann. t.. 1V, p. 50). 4

indéterminés. En cela consiste l'indépendance entre le covariant et la courbe considérée. Ë

Il y a cependant encore une observation nécessaire au sujet de cette indépendance. Envisageons le covariant comme une fonction des lettres a, ... coordonnées de la figure; les coefficients sont alors des fonctions du point mobile. Ce covariant, ainsi considéré comme un polynôme des lettres a, est susceptible de formes plus simples

moyennant quelques relations entre les coefficients du polynôme. Ces : : F sl 3 d : 7 coefficients étant ici des fonctions de x, y, — ---, 1] peut arriver que

de telles relations soient ou incompatibles ou compatibles entre elles. Dans le cas où elles sont compatibles, 1l existe des courbes sur lesquelles ces relations sont vérifiées en chaque point. Pour une quelconque de ces courbes et le covariant envisagé, le problème, on le voit, est changé; il se rapporte proprement à un autre covariant plus simple.

Nous achèverons de préciser nos hypothèses en admettant que la courbe considérée n’est pas au nombre de celles pour qui le covariant se simplifie.

Un exemple éclaircira ce qui vient d’être dit. Prenons le covariant suivant qui est sous la forme F,(u, a), les accents dénotant les dérivées par rapport à { :

(abc)(acd)(adb)(ubc)(ucd)(udb)(uu'u") + A(bcd)t(uu'a)}3.

S1 l'on a identiquement (uu'u”)= 0, le covariant se réduit au dernier terme qui est un cube.

Ainsi, pour ce covariant, 1l faudrait exclure les lignes droites.

39. Commençons la discussion en examinant quels sont les éléments du nombre Q qui répondent à des points de la courbe variables avec les points a, b, c, d.

Soit æ un de ces points. Puisqu'il varie avec a, ... et que a, restent indéterminés par hypothèse, x est un point simple de la courbe C. Donc l’élément de Q qui s’y rapporte est entier et positif. Si cet élément n’est pas égal à l'unité, c’est que la dérivée du covariant F, prise par rapport au point x le long de la courbe GC, s’évanouit en même temps que F. Soit F, ce que devient F quand on y substitue, au lieu de y et de ses dérivées, leurs expressions en x

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES. 45 relatives à GC, en sorte que F, dépend maintenant de la coordonnée x et ) à A A OF; Je È des a, b,.... L'hypothèse entraîne cette conséquence que —— s’évanouil LR: à 4 q dx

avec F,. Il en résulte aussi que les dérivées partielles de F,, par rapport aux coordonnées de «a, b, ..., s’évanouissent aussi en même temps. Donc F,, considéré comme fonction de ces dernières quantités, se décompose en facteurs dont un au moins est un carré. C’est un fait qui peut se produire, mais se rapporte précisément au cas que nous venons d’exclure, celui où, pour la couche envisagée, le covariant se décompose. Ce cas exclu, le point x apporte au nombre Q un élément égal à l’unité. Donc la partie du nombre Q, relative aux points de la courbe variables avec les éléments du covariant, est égale au nombre des points simples de la courbe, en chacun desquels ce covariant s’évanouit.

36. Les éléments de Q qui répondent, au contraire, à des points de la courbe invariables, ne sauraient être discutés à la fois pour tous les covariants imaginables. Mais on peut réparur les covariants en vastes groupes, à chacun desquels s'applique une discussion unique. L'ordre le plus élevé des dérivées qui figurent dans le covariant peut servir de base à cette classification.

Dans un covariant du premier ordre, les éléments de la courbe

d - Re sont æ, y, — Pour le calcul du nombre Q, ces trois quantités ont,

en chaque point, des valeurs finies. Il est impossible que la substituuon de ces valeurs dans le covariant donne un résultat qui ne soit pas fini et différent de zéro, tant que a, b, c, d restent indéterminés. Donc, en ce cas, 1l n’y a aucun élément de Q indépendant de à, b, c, d. Donc :

Sur une courbe de degré m, et de classe à, le nombre des points en chacun desquels s'évanouit un covariant différentiel du pre-

mier ordre, indépendant de la courbe, est wu + w'm, les nombres w et w' ne dépendant que de ce covartant.

31. Nous avons déjà observé (n° 28) que la forme d’un covariant peut, sans inconvénient, contenir explicitement, au lieu des quatre points a, b, c, d, toute autre figure. Dans l'exemple ci-après, nous prendrons une telle forme.

Soient À le premier membre de l'équation d’une ligne droite, et B le premier membre de l'équation d’une courbe dont nous désignerons le degré par X. Prenons lé covariant

Rav Fu) air)

. A . - . re a F qui peut être mis sous forme de déterminant. En désignant par £;, de les coordonnées tangentielles, savoir

I ! ‘#4 / ! die Pshee !

EL = Ua — U3U, fo = U3uy— ui, Ë3= Ujus — Uau,

et dénotant par des indices les dérivées paruélles

__oA RUE PTE TETE on trouve aisément A: À À; Fu) =AABE) ES 31 B> B; £ ; Co ê3

Sous cette forme, on voit que F — 6 exprime la relation suivante : la droite À, la polaire du point variable par rapport à la courbe B et la tangente de la courbe GC, lieu du point variable, sontconcourantes.

Les nombres d — +1, w—1 sont en évidence dans les deux formes de F. On a ainsi, pour le nombre N des points où la condiüon F — o est satisfaite,

N=(£—i)m+np.

Tel est le résultat quand, la courbe C étant censée donnée, l’indépendance a lieu, c'est-à-dire que À et B restent indéterminées. L’examen des circonstances qui accompagnent la dépendance doit, avonsnous dit (n° 34), être réservé pour chaque cas particulier. Faisons ici cet examen, en nous bornant toutefois, pour abréger, à la recherche des éléments répondant à des points de C quine varient pas avec la droite A.

En prenant, pour le point uw, = u:= 0, l’origine d’un cycle et pour la droite w;— 0 la tangente de ce cycle, pour variable indépen-

u « sv dante x — Fa nous avons, à l’origine du cycle, les valeurs o, 1, 0

pour &;, &s, 63; par suite, d’après la dernière forme du covariant, F;(x) est fim, différent de zéro, si A,B;— A,B, n’est pas nul. Ce binôme ne peut être nul, quelle que soit la droite À, que si B, et B;

sont nuls tous deux. Cette circonstance se présente, ou bien si B et C sont tamgentes entre elles au point x, ou si ce point est multiple sur B. Pour examiner un tel cas, revenons à la première forme de F, en y prenant pour & une variable suivant laquelle se développent les coordonnées de x sur le cycle. Soit À l’ordre de B pour ce cycle, c’està-dire le degré du premier terme dans le développement de B suivant les puissances croissantes de €. L'ordre de F, pour ce même cycle, est À — n, si x marque l’ordre du cycle.

En prenant pour chaque point commun à B et Cle nombre analogue à } — n, nous aurons donc

Ni=(k=im+nÙ (an)

pour le nombre N, des points variables avec la seule droite À. Si toutes les intersections de B et C sont simples, notre analyse même et notre dernière formule montrent toutes deux que tous les éléments — n sont nuls. Pour les autres cas, nous pourrons modifier

la formule en observant qu’on a q \