NET P
Le nombre de valeurs de y est [| .S1i æ est au plus égal à
x (p — 1), on en déduit pour limitation supérieure de y = ’ P J
En désignant toujours par M la première partie du premier membre de (1), on conclut de ce qui précède que M est égal au nombre de solutions, en x, y entiers positifs, du système d’inégalités ; NES x < PA
nai SEE ; LÉ
q 2 ANT ENE #) D 2
Semblablement N est égal au nombre des solutions du système obtenu en permutant simultanément +, y et p, q, c’est-à-dire encore
on
ILA RQ | IA S
sh T P 2 2
Comme p et g sont premiers entre eux, T ne peut être égal à 7, æ D P
dont les termes sont respectivement plus grands. Les deux systèmes d’inégalités n’ont pas de solutions communes et la somme M HN est égale au nombre de solutions du système
eg US | 1 #4 2 APE
Le »
c’est-à-dire à (!)
(1) Les deux demonstrations permettent également de voir ce que devient la formule (1) dans le cas ou p et g ne sont pas premiers entre eux. Soit a leur p.g.c.d. et posons SR GR EERISTÉE
Dans la première démonstration, il y a exception au raisonnement qui donne la valeur de (6 + w’); cette valeur est nulle pour £et 7 proportionnéls à p et g, par suite AD Et 7
LERCP AN NTNG,
En tenant compte des limitations des valeurs de z et 7, on voit que À ne peut
DL PTE Ce UT PRO Sy
SUR QUELQUES FORMULES D’ARITHMÉTIQUE. 531 IL. GÉNÉRALISATION DE LA FORMULE (1). — Soient n un nombre positif quelconque, supérieur à 1, et p, q deux entiers positifs; posons vor j P | £ \9 Le de DATA /H | Lo m=— |? [2 AE LEE PAIN [2 |, P PE P Pa TN L - Era 2 | RE Es 1) 2 It « (4 CP ET ee RACE Nr q " q mi | à. É on
“sf a ER
stp et q sont premiers entre eux, el
D (SE a nl n st pet g n'étant pas premiers entre eux; «a est leur p.g.c.d. On peut employer indifféremment l’un des deux modes de démons-
tration donnés pour la formule (1). En partant de la formule (3), conséquence du lemme, on obtient l'expression de M
NT t mM=YŸ PET dm LT H==0 DA prendre que les valeurs a —1
Pour ces valeurs la somme des crochets correspondants de M et N est égale à 2 au
lieu de 1. La somme M+N est donc égale au nombre de couples, augmenté
CN de >
Dans la seconde démonstration, il ÿ a exception parce que les deux premiers systèmes d’inégalités ont pour solutions communes les couples de valeurs de æ, y proportionnelles à p, g. Ges couples de valeurs doivent être comptées deux fois dans l’ensemble des solutions du dernier système d’inégalités. Le nombre de ces couples se calcule comme pour la première démonstration. |
Chacun de ces raisonnements est amorcé dans les notes d’Halphen.
(Note du rédacteur.)
: L à NT 6 Mais comme - est au plus égal à -, le crochet est nul tant que J P F n q
reste inférieur à 1 — —. On peut, par suite. remplacer arg—7].et ns peut, ] , TéMpP J Par q —J;
ne faire varier le nouvel entier } qu’entre les hmites 1 et 2] * On en
déduit la nouvelle expression de M et aussi de N:
Dit EN Te 21
En associant dans MN les crochets correspondant aux mêmes valeurs de z et 7, on voit, en raisonnant comme ci-dessus, que la
$ JS ee Û
ji ]+ fe +3)
LP de Lo LE est égale à 1 sitet ne sont pas proportionnels à p et g, et à 2 dansle cas contraire. Îl ne reste plus qu’à compter le nombre total de termes de M, et le nombre de termes où exceptionnellement £ et 7 sont pro-
portionnels à p et g; on aboutit à la formule indiquée. Ou peut aussi remarquer que M est le nombre de solutions en x, y,
somme
entiers positifs, du système d’inégalités
DT nelNT le ce THAPE r<|?|; r<|2|;
et que semblablement N est le nombre de solutions du système
2214, ys[fk; ec[2| TL l n n
Si p et g sont premiers entre eux, ces deux systèmes n'ont pas de solutions communes et la somme M + N est le nombre des solutions du système constitué par les seules inégalités
rs (Ali e
. Ur: «a Si p et q ont un p. g. c. d. a, les deux systèmes ont [| solu-
tions communes, qu'il y a lieu de compter deux fois dans les solutions du dernier système pour obtenir la somme M + N. Dans l'un et l'autre cas on obtient bien la formule indiquée dans l'énoncé.
La formule est vraie pour p et 4 quelconques, pairs ou impairs; en les supposant impairs et prenant 7 — 2 on retrouve la formule (1).
IT. Cazcuz ne M pans uN cas PARTICULIER. — Supposons 7 très voisin de 1, on a alors
Jr Le Hire E]=r-s [fes
et les sommes M et N sont
s-[H1-[]e.-[esr) n [É]-(]-—. (une
Or ces sommes sont égales. Effectivement ‘en les considérant comme les nombres de solutions des inégalités en z et y, on voit qu à toute solution du premier système
= UNE Tnt CITE DEN
S IQ
correspond une solution du second système
LA
METRE NN TEE PET; et réeiproquement. Donc
M=N= (M N)= [Cp —1)(g —0 + (a —1)] On peut établir directement cette formule (1). Calculons 2M, en associant les termes équidistants des extrêmes : on à
j=e Rep EEE [AR | = A0 ur, q #1 él q
(:) Cette démonstration extraite du premier manuscrit parait antérieure à ce qui précède. Nous avons cru devoir la reproduire, car elle semble indiquer l’origine du raisonnement employé dans la « première démonstration ». Pour cette somme M, Halphen renvoie à un article de Broch, Journal de Crelle, t. 23, 1842; on trouvera d’autres renseignements bibliographiques dans Particle cité de l'Encyclopédie.
(Note du rédacteur.)
d’où, en additionnant.
LH T'Y | ep se CHER, )1 = p — (ù + w').
AE q La somme (wo + w/) est égale à 1 ou 0; ce dernier cas se pro-
duit si w est nul; w’ étant alors nécessairement entier et inférieur à 3 ne peut aussi être nul. On doit avoir pour cela
ip = 0 (mod 4).
Soit a Le p. g. c. d. de p et g et g = a.q'; pour avoir des solutions de cette congruence, ilest nécessaire et suffisant de prendre : muluple de p' et au plus égal à (a —1).g'. Pour ces a.— 1 valeurs la somme est égale à p, pour les autres elle est p — 1. On en conclut bien
2 M = nr} (ge Er).
IV. Carcur DE M pans LE cas GÉNÉRAL. — Revenons à la forme sénérale de M pour un nombre » quelconque et deux entiers p et q que nous supposerons toulefois premiers entre eux. Pour rappeler leur valeur nous écrirons la somme M(9, p) de sorte que
| rte 2q (Le M(g, p)= 2] 2 | ++ | ———
nous allons chercher à ramener son calcul à celui de sommes analogues pour des entiers inférieurs. D’après la formule établie (SIT). D P Nes
M(p,4)+M(g.p) = BRRE
on peut toujours supposer g supérieur à p. Effectuons alors la division de g par p
En transportant cette valeur dans chaque terme de M, on
obtient | [ses [2 D € FEV
q= P-d1+ Pi; A RE
Qr GS OX
=[E] M(g,p)=a. Ÿ (i)+M(pup)
ma[8] (Le) [RJfE] cr m0
Comme p, est inférieur à p et premier avec p, on peut recommencer l'opération précédente sur M(p, p,) et ainsi de suite de proche en proche. En désignant par &, @>, ... et pi, ps, ... les quotents et les restes dans les opérations du p.g.c.d. effectuées sur q et p, on a donc
d'où
ca R[8)-)--(EHET-EET
fe) fer] np,
S1 Pin 1, M(p;41, p;) est évidemment nul et cette formule donne bien la valeur de M(g, p) (*).
Application numérique -
