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(:) Halphen indique que cette formule donne encore la valeur de M(g, p) lorsque g et p sont érrationnels; il suffit de prolonger les opérations jusqu’à trouver p.., inférieur à 7. Au lieu des opérations du p.g.c.d., on effectue le développement en fraction continue de g:p.
Il ne semble pas que Halphen ait considéré au préalable le cas de g et p irrationnels, mais 1l est manifeste que la formule (1°} reste vraie dans ce cas, en adoptant, par exemple, la deuxième démonstration. Si le rapport g:p est aussi irrationnel, a est nul; c’est ce qu’on suppose dans le calcul effectif de M par la méthode du développement en fraction continue. (Note du rédacteur.)
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Effectivement
V. FormuLes Diverses. — Soient p et q deux entiers, p non divisible par q, désignons par r un entier inférieur à q et premier avec q et soit, suivant les notations habituelles, w(q) le nombre de ces entiers r. On a
M'(p, 4) >? = PDO).
ID q Gi
I] suffit de reprendre la même démonstration que pour la somme M (voir $ IT). À chaque nombre r correspond g— r également premier avec g; et, en associant les termes correspondants dans la somme
2M',ona | + [Te = p—1, 27 g
à condition que p ne soit pas divisible par g : d’où la formule.
Considérons un nombre entier », un nombre premier p supérieur à m et formons les sommes M{(p, g) (pour 7 très voisin de 1) pour lés valeurs-de lg = 102,00 nr aqurS0n PA UE prenne AVC: Donc
Se
et, en faisant leur somme,
q=m ET |
#1 ESA PA (p —1) mm —i1)
ui Re LS 8 À " 'ÉRES #) Dans la somme double considérons un terme irréductible 2,
r premier avec q, il se retrouve multiplié haut et bas par un facteur & et ceci autant de fois qu'il y a d’entiers £ tels que £.q soit au plus
À , ‘ es me Me TES égal à m, c'est-à-dire Le fois. En groupant ainsi les termes, la Ô
DOTE VAN RAIN E LEE EN TIRE Di ANRT ETAT | NP QUE E AT A 4 se F ” AN »
somme double peut s’écrire, en utilisant le résultat précédent,
S'S-S IS Sr
q=1 el fe
En égalant à la précédente expression, le nombre premier p disparaît et 1l reste la formule (!)
(a) Den
Si dans cette formule on donne successivement à 7» la valeur rm»
(') Comme pour la seconde démonstration du paragraphe III, ces formules diverses sont extraites du premier manuscrit d'Halphen qui semble antérieur au deuxième, suivi surtout dans la présente rédaction.
Les nouvelles sommes introduites ici par Halphen se prêtent également bien à une généralisation analogue à celle du paragraphe IT. Appelons
| Z |, le nombre des nombres entiers, premiers avec p et inférieurs à æ, nombre positif quelconque. On a encore, en appelant à un entier positif quelconque,
T+H2 PAU IE DUR SEAT P è
