CN ACT WE X

et mn — 1 et qu'on retranche, on obuent

o(m)+So(gq) ([7] | en A PL? REDON EE Mood Var SCA 7e FRET

On voit aisément que le premier membre se réduit à £e(d), d étant un diviseur de m; on obüent done la formule connue

Zo(d)=m—1.

Inversement cette formule pourrait servir à établir la formule (&).

; a à AD AT VI. Erupe DIRECTE DE LA FONCTION f{n)= 2] . É . 4 n

encore établir la formule générale du paragraphe Il en étudiant

| — On peut

directement son second membre, en tant que fonction de ». Considérons d'une façon plus générale

f(x) Se el

fonction où p, g, &, f sont des nombres donnés positifs et où x est une variable positive.

Supposons d’abord que les deux fractions ne puissent pas devenir simultanément entières pour une même valeur de x. La fonction f(x) est nulle pour + infini, elle s'accroît par sauts brusques lorsque x allant en décroissant traverse une valeur pour laquelle l’une des fracuons devient entière. Supposons par exemple

Pr V (y entrer ); GENE ; É

le crochet correspondant s'accroît de 1 et le produit s'accroît, par suite, de la valeur du second crochet qui est

| Ten UE q es BA Ù NÉE AN me [p+(B—x).y |]

De même, lorsque la seconde fraction passe par une valeur entière z,

Pour obtenir f(x), 1l suffit de sommer ces divers accroissements,

le produit s'accroît de

lorsque æ varie de linfini à la valeur envisagée : y et z varient alors

de

On a donc

ste il LAS RES ef py VERS 1 q= | a+r| |[B+r ami p+(BP—x)y cmd |qg—+-(a—$)zx

En faisant 3 — $ — 0 et x —n, on retrouve la formule du para-

graphe EE. |

Supposons la condition restrictive non vérifiée, 1l existe des nombres entiers y et z tels’ que l’on ait, pour une valeur de x, 2 eue

“re UE B+ x

c'est-à-dire encore, par élimination de x ("),

Pour cette valeur de æ, ou ce système de valeurs de z, l’accroissement de la fonction f(x) n’est que Fz—(y—1).(5—-1)=FY+a3—1,

au lieu de y +3. Il faut donc, dans légalité précédente, retrancher autant d'unités au second membre qu'il y a de tels systèmes de soluüons. D'où la formule

“ Lee Ÿ er.

DR GB ET). pe qhia+$).z DR É SE Ë

N désignant le nombre de systèmes d’entiers y, 3 vérifiant la condition précédente. Dans le cas de « et 8 nuls, et p et g entiers, ces

entiers y et z sont des équimultiples des quotients p', g de p et q APS (# A .

par leur plus grand commun diviseur a; leur nombre est — |» puis- A $ F 3 nt. 5 È F1 *; 4 qu ils doivent être inférieurs respectivement à 2] et | On re-

trouve encore la formule du paragraphe I.

(!) Dans son manuscrit, Halphen semble n'avoir envisagé que le cas d'exception où ces valeurs entières de y et z sont égales. (Note du rédacteur.)