A UNE-QUESTION RELATIVE AUX POLYGONES DE PONCELET

Bulletin de la Société philomathique de Paris, To série, 1:03 2970-1070 p 7e

On sait, depuis Poncelet, que si les sommets d’un polygone sont situés sur une conique et ses côtés tangents à une autre conique, il existe une infinité d’autres polygones ayant le même nombre de côtés que le premier et jouissant des mêmes propriétés relativement à ces deux mêmes coniques. Pour que deux coniques À, B soient ainsi, la première inscrite, la seconde circonscrite à un polygone de 72 côtés, 1l faut et il suffit que leurs éléments satisfassent à une seule relation. Cette relation a été explicitement formée par divers géomètres pour les nombres 77 les plus simples, sans qu'on ait jusqu'à présent découvert quelle en est la loi. Cette loi est certainement fort compliquée et, comme on le sait d’après Jacobi, n’est autre que la loi des polynomes naissant de la multiplication des fonctions elliptiques.

Pour certaines questions, il n’est besoin de connaître que quelques parties de cette loi. Telle est celle dont je vais ici indiquer la solution.

Si l’on suppose donnée la conique B et que lon astreigne la conique À à faire partie d’un système S, 1l y a parmi les coniques de ce système plusieurs solutions A. On en demande le nombre. Dans deux mémoires sur les caractéristiques que l’on trouve au Journal de l'École Polytechnique (') et aux Proceedings de la Société mathé-

(?) [Œuvres d’Halphen, t. I, p. 1.]