APPLICATION DE LA THÉORIE DES CARACTÉRISTIQUES

matique de Londres (”), J'ai déjà traité cette question pour les cas du triangle et du quadrilatère. Jai trouvé que, si x est la première caractéristique de S, le nombre cherché est 24 dans le premier cas, 34 dans le second. Des considérations tirées de la théorie des caractéristiques conduisent aisément à conclure que, pour le cas général, le nombre cherché est toujours de la forme Mu, M étant un nombre qui ne dépend que de ». Mais la détermination de ce nombre M n’est pas sans difficulté. Il m'a fallu faire une étude assez approfondie de la relation générale, dont la loi n’est pas explicitement connue, pour lever cette difficulté. J’y suis parvenu et je peux actuellement donner le théorème suivant :

Dans un système de coniques dont la première caractéristique est 1, le nombre des coniques inscrites à des polygones de m côtés qui soient en même temps Circonscrits à une conique donnée est Mu, M étant une fonction numérique de m déterminée comme il su :

Soient p, q, r,... les facteurs premiers de m, on «a

FSU AMC CIE” EMEA NN EE Mecs pe (: (: si Ci =

Cette détermination de M me parait d'autant plus remarquable qu’elle s'applique sans distinction au cas où 72 est pair aussi bien qu'à celui où m est impair, bien que la forme de la relation diffère beaucoup dans ces deux cas.

(OO uvres d'Halphen, VAl:p: 58.1

SUR

Voici en quoi consiste ce jeu : dans un cadre carré sont placés au hasard des pions numérotés de 1 à x? et remplissant exactement l’intérieur du cadre. On enlève un de ces pions, celui qui porte le numéro x?, et l’on demande de faire glisser les pions, à l’intérieur du cadre, au moyen du vide ainsi pratiqué, de telle sorte qu'on parvienne à placer ces pions, sans les avoir jamais fait sortir du cadre, dans l’ordre marqué par leurs numéros : c’est-à-dire que la première ligne doit être composée des numéros 1, 2,3, ..., n, dans leur ordre naturel en commencant par la gauche; la deuxième, de même, des numÉrTOS 2 +1, 2+2,...,2n; la troisième, des numéros 2n +1, 2n+2,..., 9n,etc.; la dernière enfin des numéros n?— n +1, n—n+2, n— n+5,...,n?—1, la case à droite et inférieure restant vide.

Voici comment on peut se rendre compte des circonstances qui s'offrent dans ce jeu : Appelons o la case vide. L'opération simple dont la répétition est la seule opération permise consiste en la transposition (0, a), & étant le numéro porté par un des pions contigus à la case 0. Une opération quelconque est donc le produit d’un certain nombre de transpositions successives (0, a) (0, b) (o, c).... Cette opération peut être figurée par la marche de la case o, astreinte à se déplacer toujours carrément d’un seul pas et se transposant avec le pion dont elle prend la place. Une pareille marche ne peut fournir un chemin fermé qu'après un nombre pair de coups; en d’autres termes, la case o ne peut reprendre sa position primitive qu'après un nombre pair de transpositions.

(‘) Note inédite, présentée à la Société mathématique de France dans sa séance du 2 juillet 1880 (voir Bulletin de la Société mathématique, t, VIII, 1879-1880, p. 215). — Signalée au n° 3 du rapport de Poincaré. (Note des éditeurs).