SUR LE JEU APPELÉ « LE TAQUIN

La succession d’un nombre pair de transpositions constitue une substitution pare; donc, dans le jeu en question, toute opération qui ne déplace pas finalement la case o effectue sur les pions une substitution paire.

Ceci reconnu, ramenons d’abord la case vide à la position qu’elle doit finalement acquérir, c’est-à-dire ramenons-la à être la case inférieure droite; cette opération exige une suite de transpositions qu'on peut varier à volonté, mais dont le nombre est toujours pair ou tou- Jours impair suivant la disposition du jeu. Ainsi l'indice de parité de cette substitution est donné : c’est la distance de la case vide à la case inférieure droite, comptée sur un chemin carré. Soit s cette substitution.

L'opération qui doit ensuite mener au but proposé se traduira, en dernière analyse, par une substitution s' effectuée sur les pions seuls, c'est-à-dire 11 laissant la case vide immobile; cette substitution s' est donc d'ordre pair. Donc enfin on aura effectué sur les pions et la case 0, la substitution S—5s.5. Puisque s' est pair, l'indice de parité de ss" est le même que celui de s.

L'opération (ss) doit conduire à une parité connue. On la connaît donc; ou mieux, on peut, sur le jeu donné, trouver immédiatement S. Ce que l’on ne connaît pas, c’est la manière de décomposer cette substitution en des transpositions successives (0, a) (0, b)..…. Mais dès à présent, on reconnaît une condition nécessaire à la solution du problème. Effectivement on connaît s, par suite l’indice de parité de s, ou celui de ss” qui est le même. On connaît aussi cet indice d’une autre manière, c’est celui de S. Il est donc nécessaire que ces deux indices coïncident.

Ainsi, soit S la substitution qui transforme le tableau rangé pur ordre en le tableau proposé, et soit à la distance de la case qu'on laisse vide à la position qu'elle doit occuper dans le tableau rangé par ordre, distance comptée sur un chemin décrit carrément; pour qu’il soit possible de réussir dans le jeu proposé, il

. faut que la substitution S soit de même parité que le nombre x.

Cette condition est aussi suffisante. Effectivement, un examen un peu attentif du jeu montre que l’on peut toujours parvenir à ranger ce tableau tout entier par ordre, sauf à la dernière rangée où tantôt les pions seront par ordre, tantôt deux voisins, les deux derniers n?— 2, n?— 1. par exemple, seront transposés. Dans le

premier cas, on a résolu le problème; dans le second, le problème estimpossible; car, pour cette position, la substitution S se réduit à une transposition; elle est impaire, tandis que & est nul, c’està-dire pair.

Par exemple, dans un tableau où la case vide est à sa place et où il y a alors une transposition de deux pions, le jeu est impossible. S'il y a deux transposituions, le jeu est possible.

En résumé, quelle que soit l'originalité de ce jeu, 1l doit être envisagé comme mal Conçu, puisqu'il est parfois impossible, et que, étant possible, 1l l’est d’une infinité de manières (!). On peut l’améliorer de la manière suivante :

Les n°? pions étant placés au hasard dans le cadre, le joueur en ôtera un à volonté et devra, sans en faire sortir aucun autre, parvenir à ranger le tableau par ordre, en remettant, comme dernier coup, le pion été à la case restée vide.

Dans le jeu ainsi donné, la solution n’est pas toujours possible, mais elle l’est dans un plus grand nombre de cas et de plus de manières. On devra avoir soin d’ôter un pion qui soit distant de sa case naturelle, d’un nombre de même parité que la substitution S. Ceci n’est pas toujours possible.

Par exemple, si S se réduit à la transposition de deux pions dont la distance est paire, le problème est impossible. Mas si S se réduit à la transposition de deux pions dont la distance est impaire, le problème est possible : 1l suffira d’ôter un de ces deux pions.

(1) Le jeu à la mode contient 16 pions (n = 4).

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