I. — FoRMULE À TROIS TERMES
Soient u, #, w, ... divers arguments, À, B, C, ... diverses constantes, et considérons la fonction
mn —1 —— > (— 1) 2 Am'pn° CP°...D/22 Ernp F2?,.. EMUHRVEPW ES...
où la sommation infinie s'applique à tous les nombres impairs m,
n, P,.-.., positifs ou négatifs, sauf cette restriction que, dans un
même terme, » *-. sont de même parité.
Considérons les trois produits H(a+b)H(a—b)H(c+d)H(c—d)=I, H(b+c)H(b—c)H(a+d)H(a— d)=1;, H(c+a)H(c—a)H(b+d)H(b—d)=—1:,
où je n'écris pas les arguments #, , ..., dont je ne m'occupe pas
(1) Dans cet essai inédit, composé probablement en 1879, Halphen examine comment il faut modifier la définition des fonctions {hèta à plusieurs arguments pour qu’elles satisfassent à une équation à trois termes, analogue à l’équation classique d’où dérivent toutes les propriétés de la fonction H de Jacobi. De cette équation, il déduit des propriétés analogues à celles qu’il a exposées, sur la multiplication de l'argument, pour la fonction H de Jacobi, dans deux notes publiées en 1870, aux Comptes rendus de l’Académie des sciences | Œuvres d’Halphen, t. II, p. 297 et 296] et qu'il a utilisées en divers chapitres de son 7raité des fonctions elliptiques (par exemple, t. I, p, 103-197; t. IT, p. 377). (Note des éditeurs.)
a 546 OEUVRES DE G.-H. HALPHEN.
pour le moment. Les produits IT seront de la forme 771 —1 >} (— 1) 2 AÈm? Br: CÈp° DÈrnn EË»p F2? e>mnu+Ènv+Èpw ;
pour H, Emu=m(a+b)+m(a—b)+m'(c+d)+m"(c— d),
ou Emu—=(m+mj)a+(m—m)b+(m'+m")c+(m--m')d; pour I, Emu—=(mim,)b +(ni—mi)e+(mi-+mi)a+(mi—mi)d;
pour Ib, EZmu—=(mot+mi)c +(m—m,)a+(mi+ms)b+(m,—mI)d.
Examinons si à un terme de Il correspond, soit dans II,, soit dans IL,
un terme composé de même en a, b, c, d. A l’égard de IT et H,, 1l faudra avoir
Mi+ M = Mm—IM, My — M, = m'+ Im", Mi+mMi=Mm+mMm, my—-mMm=m-—m", ce qui donne 2Mm=Mm—m+m+mM", 2m =m—m—m—m", 2Mi=M+M+mMm—Mm, 2Mi=Mm+m—m'+m".
Ces équations donneront pour m,, ..., m, des nombres entiers, puisque m,m,m', m' sontimpairs; mais ,, ... doivent également être impairs. Faisons
nm =2p +I, m'=2u+I1, NX M = 21 + i,
et il vient 2U=U—RHRHR", 22h —p—
NI
2U=bRHUHR RS 2M=b+b HE"
d’où l’on voit que les 1, sont entiers dans le cas seulement où ue Su pe + pe” BU ts est pair.
Donc, si À est pair, le terme de Il qui y correspond a son correspondant dans If,, composé de même en à, b, c, d.
>à IN y —Ÿ On a, d’ailleurs, Eu, +i—ou, c’est-à-dire (—1) 2 — 7. N' 77—1 Considérons que (— 1) * —=+1: les signes des deux termes sont
donc opposés.
