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NÉE u—m+Tn,

où la somme comprend tous les cycles de C ayant leurs origines sur B. C’est, en termes plus ordinaires, la somme totale des ordres de multi-

Il vient ainsi

plicité des points de C, qui sont sur B.

Pour chaque point x de la courbe G, on prend l'intersection de la tangente en z el de la polaire de x par rapport à B. Soit x, cette intersection. Le lieu de x, est une courbe C, dont le calcul précédent nous donne le degré N,. En supposant pour B deux droites isotropes conjuguées, ayant O pour point commun, on retrouve pour C, la tangentielle de C (n° 17), et, par une transformation corrélative, on a ce résultat : La classe de la développée d’une courbe est égale à l’excès de son degré sur sa classe, augmenté de la somme des classes de tous.les cycles dont les tangentes sont ou isotropes ou à l'infini:

38. Au lieu de faire dépendre un covariant différentiel d’une figure,

on peut aussi le faire dépendre de coefficients se modifiant par un changement de coordonnées, tout comme le premier membre de l'équation d’une courbe. À ce point de vue, la forme projective d’un covariant du premier ordre consiste en un polynôme entier à deux séries de variables et doublement homogène. Ces variables sont, d’une part, 3, Us, Us, Coordonnées du point x; et les coordonnées d’une droite &4, 6, &s. D'ailleurs le point x est sur cette droite, ce qui

est exprimé par UiËi —+- Uo E2 + U3Ë3 — O,

et permet de varier la forme extérieure d’un même covariant. Si l’on omet la condition que x soit sur la droite, une équation entre les w et les Ë définit ce que Clebsch a appelé un connexe.

Les nombres w et w’ qui sont les degrés du polynôme relativement aux lettres £ et u sont la classe et l’ordre du connexe. La proposition du n° 36 donne donc celle-c1 : Sur une courbe, le nombre des points dont chacun, avec la tangente en ce point, appartient à un connexe, est égal au produit des ordres du connexe et de la courbe, augmenté du produit de leurs classes,

On peut encore envisager le système des courbes qui sont représentées par l'intégrale générale de l’équation obtenue en égalant le covariant différentiel à zéro. Alors w et w’ sont les deux caractéristiques du système, w le nombre de ces courbes qui passent par un point, w le nombre de celles qui touchent une droite. La proposition prend alors cette autre forme : Dans un système ayant les caractéristiques w et «w', le nombre des courbes qui touchent une autre courbe donnée de degré m, de classe y, estwu+w m (1).

Il ne faut pas oublier, dans les deux énoncés, l’indépendance qui a été primitivement supposée.

39. Poursuivons la discussion commencée au n° 36, et prenons un covariant différentiel du second ordre. Soit F;(æ) ce covariant qui

dy dy : .Œy Rp Ordonnons-le par rapport à Er

d'y X . dy ses termes (2) Î (æ, Vs a) .

contient æ, y, et soit un de

(!) Fouret, Mémoire sur les systèmes généraux de courbes planes, définis par deux caracteristiques (Bulletin de la Soc. math., t. II, p. 72).

bres

Envisageons un cycle

1 + FY—Yo= A(x —ro)+B(r—xo) “+...

La partie principale du terme considéré est ei

ie (+ :) BFC Jo; A)(x — #9) -

Par la même raison qu’au n° 36, on voit que ce coefficient ne peut être nul quelles que soient les données du covariant; par conséquent, la partie principale de F;(x) a pour degré le plus petit des nom- — et son ordre relativement au cycle est le plus petit des nombres a&(v— n). Si v=n, cetordre est zéro; car F est supposé indé-

composable et ne contient pas, par conséquent, le facteur EL Si au

dx contraire, y <7 n, le minimum répond au maximum de «; ce sera done Ve | ; M LE À 540 — Y(2—v), y désignant le degré de F par rapport à + Ainsi :

Le nombre des points sur une courbe de degré m et de classe p, en chacun desquels s'évanouit un covariant différentiel du second ordre, indépendant de la courbe, est

N =wp+wm+y (nv),

où la sommation s'applique à tous les cycles de la courbe pour lesquels l’ordre surpasse la classe.

Distinguons les cycles en deux espèces : dans la première rangeons les cycles caractérisés par n > y; dans la deuxième ceux qui sont, au contraire, caractérisés par n'<T v. Faisons

À cause de la relation (22), qui peut s’écrire p—r—=3(u—- m),

le nombre N est susceptible de deux expressions

(24) N = wu + w'm + yr = (w'+ 3y)m+(w —37)p+ Ye

corrélatives l’une de l’autre.

40. Cette corrélation se vérifie aisément sur la forme projective des covariants différentiels du second ordre. Pour nous placer au même. point de vue que dans le n° 38, nous définirons"cette forme comme 1l suit. Abréviativement, désignons par (uw? 69) une fonction doublement homogène de w4, us, u3 et E1, Ë2, Es, du degré p par rapport aux w, du degré q par rapport aux &. Faisons aussi

D — (uu'u).

La forme générale projective cherchée est F,(u) = DY(urëi) + DY-t(ur-3t9+8) + DY-2(up-6£q+6) LE... Par rapport aux indices de dérivation, le poids de D est égal à 3. Le

poids de Fest celui d’un quelconque de ses termes

OR 3 re JS Le degré par rapport à w est égal à 3 pour D, à 2 pour les £. Le degré à de F est donc celui d’un quelconque de ses termes :

par conséquent, .

La seconde forme (24) du nombre N est ainsi (25) | N=pm+qu+yYe.

Pour une transformation corrélative on doit remplacer respectivement «w par &, 6 par Du et D par D?. Ces substitutions faites, F contient le facteur D avec l’exposant 2Y Hg; ce facteur supprimé, on obtent pour le covariant transformé

F'= DY(uP'E7) + DY-1(up!-369+3) + DY-2(uP=6 ET +6)... P= HAY 2,7 =p 3.

La première forme (24) du nombre N est donc (25 bis) N=pu+g'm+yr, et les deux formes (25) et (25 bis) ont entre elles la corrélation nécessaire.

Suivant la remarque faite au n° 34, nous devons exclure les lignes droites pour l'application de ces résultats.

41. Si la courbé considérée n’admet que des singularités ordinaires, les lettres 7 et o marquent le nombre des points de rebroussement et celui des points d’inflexion. Il existe donc une catégorie de problèmes bien définie, dans lesquels tous les points singuliers peuvent être remplacés par des équivalents en points de rebroussement et points d’inflexion. Pour mieux dire, une courbe quelconque à l'égard des problèmes que nous venons de traiter est représentée par les nombres m,

Hu, r, 0. Mais cette propriété appartient exclusivement aux problèmes qui concernent les covariants du premier et du second ordre, comme nous le verrons bientôt. :

De même qu’au n° 38, la formule (24) est susceptible d’un énoncé relatif au nombre des courbes appartenant à un système à deux arbitraires, et qui ont un contact du second Ge avec une courbe donnée. IT paraît inutile de nous y arrêter.