CROSS ANT ENT D'LA

| 4 [ra +1, o/?[1,0] y fm +1, 0]?

JE RENTREE Uno] Cr ro] TR Oo le oil formule qui permet de calculer##(8;0), f(5, 0)... à partir de

JG; 0)= 0.

FRE Re NN) cal DE xEy y

[2, of? Cr Ho

Mais il faut calculer autrement f(2, 0). A cet effet, on fera dote etdlionaure

+ [4, o| Ur [ 4, 0] AT OR STE TER RL PT ER pre

ou Re mere | x fat+amE—a(2 mé) y —x(3E—x)yt+ops |.

On peut donc calculer f(m, o) pour toutes valeurs entières de m positives. On a d’ailleurs f(— m, o)—=— f(m, 0).

PROS TRE EE = ON puis bot crane, il vient TM MESRINE 2 mt) A D ere ALL) PE [m, u][m+i, m—i1]

Pour u — 1, cette formule est applicable pour mZ1,et donne tous les f(m, 1) où m est positif. Elle ne s'applique pas pour n —1r, — 1; elle ne donne donc pas f(—1, 1). Elle s'applique pour , à toutes les valeurs de m. Il n’y a donc plus qu’à calculer

= 171, 1); et ilisuffit de faire

DEV, B—=—:, 00 a—=—t os Gé pour avoir [2, — 1] TE—Y.

re ny 00, 0) — : A æ ) d’où I = | RE z)+rt(o + Er —(e + pi.

— 1, I —— = Fe me ) i ARRETE EEE

Soit [D (a, «)]" ce que devient D(a, «) quand on y permute les arguments et les modules; cherchons son expression. On a ao Re) 0 0 CLENTMIAUIT Ts

donc Dear TE RS

LUN cat Ÿ %

J(m, am) = F(x, 4 y}

Si donc on a on en conclura NL 3 3 C-ne(u, m)= [DE (-nèe, = 1].

Donc la fonction © est, comme f, une fonction rationnelle des données.

Comme devant être utile, urons de la formule générale

RNA:

HAUTS LAN NEERRE >

| 2x(x+ my — y?) x iat+ait—at(f+at—E#t)y—a(5t—x)yt+ 4).

Nous avons aussi

fe 1) 6, 0)=— TE, d’où xiy — x|3,1] LR As DR TE NU

Nous avons encore Tr F0 2) 0 EE Em Fo, D ET Jr aoieEte

SVY

Ainsi, nous avons ces formules, en posant f(2, 0) — f, dont l’expression est ci-dessus,

FU, 0)=0, 1 (2,10) =17, MÉO NT) ee 0) JU, 1)=f— 2, JD ST, fon =f EI.

Nous avons JVTION CONTES TX —= [e 0] = PS rte

PA TODUTS 1)? Ge © 1)

d’où

— 2.f(2, 0) — 0 1) + f(x, 1) 3 3 'E — 3 fi (fe LE) + (re EX) 2er te

EE ar

ns. 7

De même, | SÉARS Elu MN RL (OP CNE NE EU SALE donne (4, dé 3 , s: à DER DES D=-sf HE Et l’on a, pour | Je (a ne ARUIE D

CON ErrA l'équation différentielle T'= Dos sf 1) + f(—1, MESSE + E.

Pour la symétrie, introduisons f(— 1, 1) au lieu de f(2, 0); nous avons MAN VENTE)

x a(E—x)+at(r+t)y—(x+t)y}= f(x, 6 y); et nous aurons, par suite,

1 W 3 3 mie lC 1e € mie | ou Li I 2(—E+rEn—m!) KE tx 6) mie EE)n (ren).

En introduisant w, nous avons f = u - 2, et, par suite,

LUS 120% Y 3 OST TE NT RS Use dE MUR CS D TN 3e ÜUai”orres ÿ 2% | SRE DE A En a AR 1 0% 1 dE En permutant les indices, on change D CRE 5 etc.; ona, par exemple, pour la première équation, LU r dE 1 3 3 PEER = Co + + Sie LeErOT ( IE 2

562 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.

Donc Uorhs ot 3 ; TE oc £ 12 U-1 9% SR LE oE à —0— — D P —— — — 1% 07 c TM COim oO: 2 2€ RE le A ns te [| T] OT ë

Envisageons le premier groupe d'équations, où w est censé remplacé par sa valeur. En divisant ces équations membre à membre, on a un système d'équations différentielles, admettant deux équations

intégrales telles que F(x, &, y)— const., c’est-à-dire indépendant de #. Car il est aisé de trouver deux pareilles fonctions. Considérons,

en effet, FREE «- On a

A[o, 2h (o, 3)(1, 0) Co, 2)(1, 0) DSlERR cn CR me | Ne Cal Co, 1)G, (1, 1% Donc [ES Foto 560 en) FRA HOT

ce qui est indépendant de {, et est d’ailleurs, en fonction de x, Led Sr

RON ON Gone 2 ot OS AU Os ele Pme lee aan Up) oi

[o, 2 [$ FR £8 Ka £8 Î

lo, 4],

Une seconde intégrale est fournie par RD TE

CO RE LE CR Dee PEER

CO) QU Em 1) 7

d’où [o, 4] 200, 4):(007 1h RÉF ANAISERNLENE

Donc, s ne dépendant que de 7,

__ —BrbE(o— Etain +E(E —5æ)n+ an D = ……….…. …… 0 E*

Par suite, toute fonction de p, 5 est une intégrale du système.

De même, (3, 0f AI [2, o|8 [2,6

sont des intégrales du second système, ou des fonctions indépendantes de +, à savoir CPE EAN