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Réciproquement, toute fonction de x, Ë, y, indépendante de £, est une intégrale du premier système, c’est-à-dire une fonction de p, 5, et toute fonction de x, £, y, indépendante de +, est une fonction de r,s.

Or, si l’on considère la fonction H(4, +), pour + — 0, elle satisfait à toutes les relations caractéristiques de la fonction H à un seul argument, caractères qui conduisent à une certaine équation du premier ordre, et à une fonction de r, s, qui est indépendante de # (!). Soit G(r,s) cette quantité; elle est indépendante de t; c’est donc une fonction de 6, 5. C’est d’ailleurs la seule dans ce cas.

On a donc [en raisonnant de même sur H(0, +), et désignant par O(p, 5) la fonction analogue à &(r, s)], des équations

GE, s)= a, O(o, s)—=4,

où a, a dépendent seulement des modules; mais comme, en outre, &(r,s) dépend seulement de o, 5, il est une fonction de @ (0, 5), et l’on a aussi une relation

Pa, &)—.0,

D étant à coefficients purement numériques. Cette dernière relation est une identité en r, s, p, 5; et, par suite, s’obtient en éliminant x, &, y entre les expressions des quatre quantités 7, 5, p, 5.

Reprenons l'expression m — 1

H (£ tr) — E(— 1) 2 eam?+bni+2cmn+2mt+2nr ?

(:) Voir Œuvres d’Halphen, t. Il, p. 294 et 296-299; les lettres 7 et s y sont remplacées par æ et y. (Note des éditeurs.)

Nous en déduisons

nm —1

H (é +20, T+ 20) Les E(— 1) 2 eam?+bn?+2cmn+2m(t+2c)+2n(t+2b)

mn — 1]

— e-tby (— 1) 2 eam?+b(n+2)+2cm(n+2)+2mi+ant,

et, par suite,

Mi H (es ti) a Es H(4 +—2C,T+2 b) erb — Z(— 1) 2 eam’+brè+2cmn+2mt+ant,

où maintenant » prend toutes les valeurs impaires indifféremment.

La

Pour c — 0, ceci devient

In — À

H(4, t) ME etbH(é, 7 + 20) ES: (— 1) 2 an?+2mt Sebni+2nt. Soit | mn — 1

% miT : E(— 1) 2 Lam?'+2mt— ha, t) — (— 1)

= am?+92mlt+ —— 2° e 2

en sorte que Î .

S eam?+2mt — (— 1)2h (a Ti =) $

On peut alors écrire 1 ; m—1 es 1) 2h00: t) h (2, Fr CS =) = (—1) 2 camamiEErEnitanr

et, de même, : : m—1 CRT h(b, r)h (a, t — =) — E(—:1) 2 Qam*+2mt+bni+ant

La somme ne laisse subsister au second membre que les termes où

IUT ENTER ?

à sont de même parité. On a donc, pour c 0,

nu = CP nça gn(e, 5) +008 pnfa ri)

et, pour 7 — 0,

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cé

SUR UNE GÉNÉRALISATION DE LA FONCTION H DE JACOBI. 565 Ainsi, la fonction H(£, 0) qui satisfait à diverses conditions

communes avec la fonction h(a,t), se réduit, à un facteur près, effectivement à h(«, £), pour c