LV. — GÉNÉRALISATION

En désignant par m, 1 des nombres impairs prenant toutes les valeurs positives et négatives, envisageons la fonction

ft, T)—=2E(—1) À Ar Bb CmnbemttUur) et partageons-la en deux autres ©,, ©,, savoir e) RAD res Ne

TITI LT v, celle où = |

= : (mod:2)),

Met Uu TI o, celle où +:

EE AVE (mod. 2).

Considérons maintenant la fonction

Ia, 8, c, a, 8, y)

vo(a+b,a+fB)so(a—b,a—6) vw(c+d, +0) vec —d,y—àù) + mia + db, a — Boi(a — D, a— Bo (ce + d, y +ô)wi sc — d,y—ù),

dans laquelle £ est zéro ou 1

Dans le premier cas, on à PoPoPoPot pipi pig, dans le second cas, 6opo pipi pi Pi Po po

Examinons si le développement de cette fonction IT peut avoir, x € relativement aux variables &, b, c, d, x, B, y, à, des termes communs avec la fonction analogue IT, obtenue par une permutation

circulaire, savoir

Ii = I (b, C, «&, GB, Ÿ x).

Pour cela, considérons un terme de IT et un terme de Il,,

€ Et en désignant par m,u, m', u/, ... les exposants (par ordre) dans un

terme de IT et par m,, u,, ... les exposants (par ordre) dans un €

terme de I,. On devra avoir l'identité suivante : Et

m(a+b)+m(a—b)+m'(c+d)+m"(c—d) = mb+c)+mi(b—c)+ mi(a+ d) + mi(a— d),

rs , d’où r M+mMmi=mMm—Mm, M— m,= m'+m", Mi+M=MmE+Mm, mn ais 7 = Im — m", à ; et jen ure 2M=M—M+MmH+M", 2M=mMm—m—m—m", 2Mm =mMm+m+m'— Im", 2Mi=M+M—mMm +mMm".

Et l’on aura de semblables égalités pour déterminer m,,u,u,,u en fonction de y, w/, u”, 7.

On observe d’abord cette conséquence que, si les m4, ..., pu, ... sont ainsi déterminés, on a

Mb +mu+miu=me+me+ m'a" m"p", mi+mÎ+mSi mi = m+m?-m?+ m?,