ST ET RENE 2 2H

et que, par suite, si dans IT et Il; deux termes sont composés de € ci

même en «a, b, ..., a, B, ..., ils le sont aussi en À, B, G, et se réduisent entre eux.

Mais, pour qu'il en soit ainsi, les nombres m,, ..., 1, ... ne

doivent pas être quelconques. Ils doivent satisfaire aux conditions ci-après :

1° Les m,,..., 11, ... doivent être impairs ;

ne à ® A A € cr no doivent être de même parité ; 1 [2 212 Fi mi (Re roi ’ x À Le et nes à. + ne doivent être de même parité.

Voyons si ces conditions sont satisfaites. Faisons

m= An +I, M=QN +I, M =2n + I, Mi =2n) #1, Alors, il vient 2mu=n—n+n+n", on\+2=n—n—n—n",

on=n+n+n— n", 2Rÿ=n+n—n+n",

et 1l en résulte que »,, n°, n°, n° sont entiers dans le seul cas où n+n'+n + n" est un nombre par. Il en résultera alors

Ni+ Ni + Ni + Ni+IZ=An,

c'est-à-dire que n, + n°, + n°, + n° sera impair.

NIrLE=T

Ainsi, ce sont seulement les termes où 2 est pair qui peuvent

se trouver dans II,, et si un de ces termes s’y trouve, À "= y est

Co

impair, et la somme de ces termes sera nulle.

. , Nim—1 à . : .

Soit donc, dans IT, un terme où 2 — Xn soit pair. Faisons, de même, D —= 92% +, = 2v +1, ‘er DM= 2" +1, M, =2Vi HI, RE

et, de même, nous voyons que y,,Y,,... sont entiers si y + y + "+ y" est pair. Mais, par construction, on a

n—vy=n—", n'—v'=n"— 1" (mod. 2).

Donc n+n+n+n =v+v+v" +)" (mod. 2).

Donc, les 1:,, ... sont bien impairs. Donc, si Z"— est pair, la pre-

mière condition est bien satisfaite.

Examinons maintenant la seconde condition. Nous avons

2mu=n—nN+n+n", on,+2=n—n—n—n",

DV — V — V'H VV, 2Vy +2 = y — v— v— y",

d’où je conclus :

(ni — V1) — (n — y} ) sr (n'— v") &E (nie y").

Par construcuon, n°— y" et n"— y" sont de même parité. Donc

ny, et 2,—Y, Sont aussi de même parité. La seconde condition

est donc satisfaite.

Pour la troisième condition, nous avons, de même,

NI

on,=n+n+n—n", onj=n+n—n+n",

: LA V1] ! 72 2Vi= + VV V7, 2VI= V+V— HV,

d’où Cr) — Gt) = Cv) — (nv),

Donc aussi », — y, et n)—v, sont de même parité. La troisième condition est donc satisfaite.

Reste maintenant à voir quel est e’. Or des égalités précédentes,

on tire

Gu—v)—(n—v)= (nv) —(n'— y).

Donc », (114

ll (4 A LE pe ù = Vi et, — y, sont de même parité, s il en est ainsi pour

ny EUR Avon;

: d 1! " mt LE .

y, EL, = V,:SOnt de parités opposées, s il en F =. À 1/1 11) ! de ? A » [

est ainsi pour 2 —y et n —y; c'est-à-dire quee'=e

Donc, en définitive, la somme des termes de IT dans chacun

desquels D— est pair est égale et de signe opposé à une somme de termes de Je où D est impair. Mais il y a réciprocité, car en

résolvant te équations par rapport aux 7, ..., 4,..., On trouve qu'à

« x <a — 1 D À Le chaque système m,,...u,,..., où "= est impair répond un

SYSLÈMEN, ee ue

En conséquence, partageons les termes de IT en deux groupes,

mm — A

savoir : Îl° comprenant les termes pour lesquels D est pair,

et I ceux où cette somme est impaire. Faisons de même pour [,. € Li €

Il en résulte l’ égalité

Permutons maintenant en cercle les lettres a, b, c, et, en même temps, les lettres &, $, +. Désignant par IT, le résultat de la

[es

deuxième permutation, nous aurons

9 +, = 0, US + Il = 0.

Ajoutons membre à membre, en observant que

Jo + [= NI, 9 + 0 = Ni, TOI AT; € e £ E € € € € re et il vient

IL + Il + I = 0.

Nous avons ainsi une équation pour la foncuon Il. Il y a deux €

fonctions IT. Nous avons donc deux équations pour les fonctions ©,

SUR UNE GÉNÉRALISATION DE LA FONCTION H DE JACOBI. 569 etw,, Savoir :

20 Po Po Po + O1 Dr Di Di + D0 20 Po Do Te Pi P1SiP1 + Lo

PoPoP1P1 + DD 1 Do Co + Do 20 21 PA + 21919020 + Lo

< | GI SI 3 [l

Le même raisonnement prouverait que pareilles équations s’appliquant aussi à la fonction

Do(a+b,a+$)w(a—b,a—8B)s(c+d, y +ô)plc-—d,y—3à) + gu(a+b,a+$)gi (a — D, a — Bjoi(c+ d, y +0) o1 (ce — d, y —à) = X(a, 6,0, d,a;$, y, ô).

Mais ce ne sont pas des équations nouvelles. Posons, en effet, a+b= a+ b", a—b=c+ d", RNA NT c—d=c— d'; il en résulte

RO ot oi CT ae D à ON 2 NRA

Faisons de même pour 4, , y à. Alors P 224 ,

AGP PRER ER PR LE CE RE NE à’

Remarquons maintenant que I + H,+ 11, s'obtient aussi bien en permutant circulairement b, c, d que a, b, ce. Mais permuter circulairement D, c, d, c’est permuter circulairement b', c', d'. Donc de

l'équation entre les Il on déduit une équation entre les où 0", c”, € ‘3 €

d' sont permutés. Mais, là encore, permuter b', c', d', ou a, b', c’, revient au même. Donc les nouvelles équations ne sont que des conséquences des précédentes.

— cr Q) —

SUR

Dans une note récente (!), j'ai donné lintégrale générale du système suivant : |

du; + uw) d(us + Us)

d(u3+ Ui) Us: da a

da

cn = Ua U3, Cette intégrale renferme explicitement trois constantes arbitraires. Je demande à y revenir aujourd’hui pour montrer comment ces constantes se déterminent au moyen des conditions initiales, et pour examiner les circonstances qui s'offrent dans l'étude des fonctions ainsi déterminées.

Je considère les trois fonctions U,(x), U:(2), U;(æ&), qui servent à représenter l'intégrale générale, et qui sont définies uniquement pour les valeurs de à dont la partie réelle est négative, et je vais montrer tout d’abord qu’il est toujours possible de trouver pour «une valeur de cette nature satisfaisant à l'équation

A: Ua) + A» U:(«) + A3 U3(«) —= O,

quand AÀ,, À, À, sont des constantes données et dont la somme est nulle.

En effet, d'après les relations qui ont lieu entre les U et les fonc-

tions ®(0), (0) de M. Hermite :

d Ur(a) — Ui(a) =8 — loge(e) de

d Usa) — Ui(a)= 8 —logy(p)

(1) Comptes rendus de l’Académie des sciences, t. 92, 1881, p. 1101; | Œuvres -d’'Halphen, t. Il, p. 455.] ;

Le présent fragment, resté inédit, est, visiblement, le projet d’une seconde note sur Je même sujet, écrit peu après celle-ci. (Vote des éditeurs.)

l'équation proposée devient F log[p(e MALE A] = 0 AS pPLP p IAE

Si l’on revient aux fonctions elliptiques où g — e®, on a p(pN= A, Y(pP= AT, d(k)+d(K?)= 0,

@L l'équation proposée se réduit à

Ag SA 80 0 Ha HT d’où A À» A3 F2 EE te === c'2 — — — :