Voici des exemples

Exeueze À. — Pour un réseau de coniques, soit H(u) = 0 l’équation de la courbe hessienne, et soit J(£) — o celle de la cayleyenne, le

covariant F = DH(u)—J(E#),

égalé à zéro, fournit l'équation différentielle des coniques du réseau. lei | Y =I, Di Se er 0:

Ainsi, dans un réseau, le nombre des coniques qui ont un contact du second ordre avec une courbe donnée, du degré m, et dont les points singuliers ont léquivalent 5 en points d’inflexion, est égal à 3m + p. La classe de la courbe étant 4, et l'équivalent en rebroussements étant 7°, le nombre des mêmes coniques est aussi 5u +7.

Corrélativement, ce même nombre 3m + 5 ou 34+ r est par conséquent aussi celui des coniques qui, appartenant à un réseau tangenuiel, ont un contact du second ordre avec la courbe.

Exempze 2. — Pour covariant, prenons le premier membre de l'équation différentielle des coniques bitangentes à une conique donnée et passant par un point donné.

Soit Au) le premier membre de l’équation ponctuelle de la

conique donnée. Posons WA(u)—B{u). L’équation d’une conique

bitangente à celle-c1 peut s’écrire Pili+ Paur+ paus= B(u),

OÙ Pi, P2, ps Sont arbitraires. Par suite, l'équation différentielle cherchée peut se mettre sous la forme irrationnelle suivante, où F4, #2, #3 sont les coordonnées du point donné, et où les dérivées sont dénotées par des accents :

Ur Us Us BE) a A WU QUs QU SD EU) ne £ == O,

Uj=ue Us, BU)

DR NT B(v)

En désignant par À, le déterminant conjugué obtenu par le simple changement de B(v)en — B(+) au dernier terme, on aura le covariant sous forme rationnelle et entière ainsi :