FA CAR

On y aperçoit immédiatement les nombres caractéristiques Ve, D— 0, Je 0!

Le nombre N est donc ici le double de celui qu’on a trouvé dans l'exemple précédent.

. Les coniques bitangentes à une conique donnée, passant par un point donné et ayant un contact du second ordre avec une courbe donnée que caractérisent les nombres m, 4, r,p, sont donc en nombre égal à2(3m+p)—=2(3u+7r). | -

En conséquence, c’est encore le même nombre pour les coniques bitangentes à une conique donnée, touchant une droite et ayant un contact du second ordre avec la courbe.

On peut, pour cas parüculier, réduire la conique donnée à deux droites ou à deux points; nous aurons de la sorte les caractéristiques de l’ensemble des coniques ayant avec une courbe (m, u,r,p) des contacts du second ordre. |

43. C'est pour une raison générale que, dans les deux exemples précédents, on a trouvé une proportionnalité entre les trois nombres caractéristiques. Toute équation différentielle du second ordre algébrique, dont l'intégrale générale est représentée par des coniques, est

ainsi caractérisée par les nombres +, p = 37, q — 0. Pour s’en convaincre, il suffit d'observer, dans le covariant F,(«), la signification géométrique du coefficient de la plus haute puissance de D, et celle du terme indépendant de D. En les égalant à zéro, on obtient deux connexes exprimant la liaison qui existe entre les origines et les tangentes des cycles des courbes intégrales où l’ordre diffère de la classe. Quand les courbes intégrales sont des coniques, le coefficient de DY, égalé à zéro, donne le lieu des points auxquels se réduisent les coniques dégénérées, envisagées en coordonnées tangentielles; le terme indépendant de D donne, au contraire, l’enveloppe des droites auxquelles se réduisent les coniques dégénérées, envisagées en coordonnées ponctuelles. Ainsi le coefficient de DY ne contient pas les Jettres &, et le terme indépendant de D ne contient pas les lettres w. C’est ce qu'il fallait prouver. De là cette conséquence qui appartient à la théorie générale des caractéristiques pour les côniques : le nombre des coniques qui ont des contacts du second ordre avec une courbe donnée et satisfont, d’autre part, à une- condition triple indépendante de la courbe, est 7(3 m + pb). Le coefficient y ne dépend que de la condition triple; »# est le degré de la courbe, p RME de ses points singuliers en points d’inflexion.

Pour avoir un exemple où ne se présentent pas de pareilles circonstances, 1l faut prendre une équation différentielle dont lintégrale générale ne soit pas représentée par des coniques. En voiti un * désignant par @, b; c les premiers membres des équations de trois droites, prenons le déterminant

F,(u)=[at, (ab), (e)].

L'intégrale générale de F;(u) —o est représentée par les cubiques ayant pour point et tangente de rebroussement le point a=—c—o et la droite & — 0; en outre, leur point d’inflexion a pour lieu c —0 et, la tangente d’inflexion passe constamment au point a = b —o. Le nombre de ces cubiques qui ont un contact du second ordre avec une courbe est donné par la formule 6m + 0. On a, en effet,

yY=1, p=6, g.= 0:

44. Nous allons maintenant faire la discussion générale, commencée au n° 36, pour les covariants différentiels du troisième ordre, Tout

d’abord, prenons ces covariants sous leur forme projective, ou, en d’autres termes, indépendante des coordonnées. Dans une pareille forme, les dérivées du troisième ordre seront introduites au moyen de la combinaison suivante :

G=(uu'u")asar+ 3(uu'u") auar— 3(uu'u")a, arr).

Les signes 44, ax, ... expriment des formes linéaires, savoir :

Au = dl + Ales + A3 Us, AE = 41 + Goo + Mb,

dur == AU + AU + Aa, dér = AE + QoËs + a3Ën.

D’après les expressions des £, on peut aussi écrire

dt = (aquu:), ar — (auu”).

On voit que à, et og’ sont les dérivées de a, et &e.

Les propriétés de la combinaison G s’établissent aisément. Pour la clarté, considérons &,, #,, 4, comme les coordonnées d’un point v, et dy, &, a; comme celles d’une droite, joignant deux points 8, +. De cette manière, on peut écrire a; = (fyu). L'analyse du n° 27 ou un calcul direct donne immédiatement cette conséquence que l’ex-

ression suivante P AQUUU) (LÉ Y US

P, (auu'}?

reste absolument invariable, soit qu'on change la variable indépendänte, soit qu'on effectue à la fois sur les w, x, $, y une même substitution linéaire. En conséquence, la dérivée de P; reste également invariable pour les substitutions linéaires. Quant au changement de la variable, son effet se traduit par la relation

dP; abs

dia as at D’après l'expression de G, nous avons

dPy# (auu')* dt (By uw)? ;

Si nous effectuons une substitution linéaire à la fois sur les u, «, $,7, que les nouvelles coordonnées soient désignées par des ma]juscules, et que A soit le déterminant de la substitution; si nous faisons, en même temps, un changement de la variable indépendante, nous

aurons, pour traduire le changement qu’éprouve la forme de G, l’égalité

ASE G;(u) = A ue GE):

Ainsi G.(u) est un covariant différentiel du troisième ordre, et son expression contient un point & et une droite a en outre des éléments du point +. Pour ce covariant, le nombre w est égal à 5. Le nombre à

est égal à 6; par suite, W'= Ÿ —20 —— 4.

On peut, sans inconvénient, supposer le point & sur la droite a. Prenant alors des coordonnées particulières, on pourra faire

di = 0, A3 = O, —d3 =], 1 —= O, A2 =], A3 = O.

Choisissant x — = pour variable, et y — … pour fonction, on 3 31

réduit ainsi P à 4 et Gà 7. Par là se reconnaît que, dans cette dx? dx?

hypothèse (le point « sur la droite a), G— 0 est l’équation différen-

telle des coniques qui touchent la droite & au point à. Si, au con-

traire, on suppose que 4 ne soit pas sur @, on peut choisir les coor-

données ainsi :

Hi — 0, Mets 0, As — T1; EPENQE &2 = O, CSN

Avec les mêmes variables que tout à heure, on a pour G l’expres-

: d 11) ‘ Su ) : =

sion — | ————"|, où les dérivées sont prises par rapport à æ. L'indx L(xy — y}

tégrale générale de G = o est

Ax?+2Bzxy + Cy?=1,

où À, B, C sont les constantes d’intégration. Elle est représentée par les coniques relativement auxquelles a est le pôle de 4.

45. Au moyen du covariant G nous pouvons écrire un covariant quelconque du troisième ordre sous forme projective. Il suffit, à cet effet, de faire intervenir avec G le déterminant D — (uu'u”) et de prendre pour coefficients des fonctions des lettres w et &.

Avec les mêmes notations qu’au n° 40, nous avons ainsi cette forme générale

F(&) >. GY DE(up Ed),

où les exposants, pour chaque terme, sont déterminés par deux d’entre

eux, suivant les conditions qu’impose la constance de w et w/ à tous les termes

— 4y—3Ee+p= uw".

À ces nombres il sera plus commode d’en substituer d’autres pour mettre en évidence la dualité. Soient

c = max. de (e+ 37),

I I SEAT Pen" S'=2yV+E——-0C, 2 2

Les nombres &, a', b et les couples s, s’ dont chacun définit un terme de F;(u) sont ceux que nous conserverons explicitement. Nous allons d'abord examiner comment ils se transforment par la dualité.

Nous l’avons déjà observé, le changement des coordonnées ponctuelles en tangentielles se fait par le changement de D en D?, de «

LA 1 B e D a en £ et de £ en Du. En conséquence, l'expression P ou —%# se change aË | : | [e À 4 3 r A » ® en & É -» Si l’on échange en même temps le point à et la droite a. Par du MER T ET EE conséquent, l'expression de G se change en celle-ci —< D); QE u

ce qui se réduit à — D?G.

Si l'on fait ces changements dans F, on obtient pour le terme général transformé une expression de cette forme

GYD?Y+2€+4(uër).

L’exposant de D peut s'écrire 2Yÿ+20+g=w—(e+3y). Il a pour minimum (w— c). Il ya donc heu de supprimer le facteur Doc à tous les termes. Après cette suppression, nous avons, pour le terme envisagé dans F, un terme correspondant du covariant corrélauf, et les exposants correspondants sont les suivants :

M=U HIHI Hg—W+C Pig, ip.

Calculons, par leur moyen, les nombres s,, s et tout

1? di, a

d’abord €, :

HO VEE TYSRAE 9 RU RCE e:

Comme F ne contient pas le facteur D, il y a au moins un terme où € est nul. Par conséquent, OT a pour maximum c; c’est-à-dire

C, —c. On a ensuite | D fc BR SE % C ; NS D Lt Ep CM DE DU) one — 5," 2 2 2 ) ; I € C fs Re RE ee ere laetirtee ES er Er tien 5:

A = Di — — Cry —= 5yi+ 3e +gi—-CQ—= «x, 2 2 : ; 3 ; 3 * Der ES HiYs tn Pit UE 4

En résumé, pour le covariant corrélatif de F, les nombres a et a’ sont échangés, le nombre b se conserve; et pour chaque terme les nombres s, s’ sont échangés.

46. Soit à chercher l’ordre du covariant F relativement à un cycle Ho V—Yo=(t—to) “(x — xs)" |.

EE 3 n sue . FAT LR SN € »

Si = diffère de l’unité, on trouve immédiatement pour le degré : [22

de la partie principale de G. D'ailleurs, la partie principale de D est du Va rt

degré - Donc un terme quelconque de F a sa partie principale du

, YU—2n)+e(v—n) . , + C(V—n) s+s'n degré + ,; ce que nous pouvons ÉCTITE © — ———— :. = [42 DIT i n La partie principale de F est donc fournie par celui de tous les termes où sy + s'n est le plus grand possible. Donc l’ordre de F relativement au cycle est

a Es (à) — max. de (sy +s'n).

Nous avons dit qu'on trouve immédiatement la partie principale de G. Effectivement, supposant le point « sur la droite a, nous avons

: ; e dB y vu qu'un choix convenable des coordonnées donne à G la forme = :

Mais, en laissant & et a quelconques, le calcul n’est pas moins facile. Prenons, en effet, la quantité P en y choisissant x pour la variable

indépendante. Pour un cycle y Zn, le premier terme de son dévelopd'a V4 À

pement est du degré ; le premier terme de sa dérivée est du

on À k , VA D ras Il en est de même pour G, qui s'obtient en multipliant

degré

cette dérivée par une quantité dont le premier terme est une constante.

Prenons maintenant un cycle d'ordre n égal à sa classe, repré-

senté par k 1 Ve Vo ART PEUT RTE ee Aÿ].

On a, pour P, le développement k

Pe= A'+(x— x)" | Ce Fa my |

UE Si — n

<C1. Mais, si*21, on à Pa A (ea) [tr] (Ryu)

(auu') peut disparaître tant que 4, f, y restent indéterminés. Il en résulte

3 L2 e. L rs LL car le facteur | | introduit un terme du premier degré, qui ne

que, pour le cycle envisagé, l’ordre de G est — (n—k) sa k<n; ou zéro si k?n.

Nous désignerons par H la somme positive E(7 — Æ) pour tous les pareils cycles. Le degré du covariant, relativement à G, étant b, l’ordre total de F, pour ces cycles, est — bH.

Quant aux cycles v2Z ñn, chacun d’eux apporte à Q l'élément calculé précédemment. Le nombre des éléments de Q, qui se rapportent à des points variables, est donc

N = wu + w'm + bH + DR + max, de (sy+s'n).

Combinant cette formule avec (22) et introduisant & et a’ au lieu de w et w', nous aurons

(26) N=au+am+dbH + max. de (sy+s'n).

Telle est la formule définitive qui donne le nombre des points, sur une courbe, où s’évanouit un covariant différentiel du troisième ordre. Elle est sous forme dualistique : le nombre H se conserve pour les transformations corrélatives ; w et m s’échangent, ainsi que a et a”; yet » s'échangent, ainsi que s et s’.

4T. Il convient de nous arrêter quelques instants sur la formule (26). On peut se donner à volonté un ensemble quelconque de couples s, s': il y répond toujours des covariants F, sauf quelques restrictions que voici : 1° les nombres 25, 25° sont tous entiers et d’une même parité; 2° s+ s'est toujours positif, et l’une de ses valeurs est zéro; 3° les maxima de s + 25 et de s' + 25 sont égaux.

Quand ces conditions sont remplies, on peut prendre

4 <= MAX. de.(s +25) — max. de(s’ + 25),

puis a et a' à volonté, de telle sorte toutefois que a et 2a/ soient entiers et de la même parité que 25 et 25s', et en respectant aussi les inégalités

a 2 max, de (25— ss) a'z max. de (25 — 5").

Au moyen de ces nombres on peut, pour chaque couple s, s’, déterminer p,q,7Y,€ d’après les égalités ci-dessus. Ces quatre nombres seront, comme on le voit aisément, entiers et. positifs; en outre, e + 3y aura le maximum c; le terme correspondant proviendra du couple s, s°, où 25 +s est maximum; € aura le minimum zéro, cor-

respondant au maximum de 2s + 5";

; enfin y aura le minimum zéro,

correspondant à s + s — 0.

La deuxième et la troisième condition imposée aux couples s, s’ sont facilement satisfaites ainsi : prenons à volonté des couples S, 5", les nombres 2$, 2S'étant entiers et d’une même parité. Nous en pou-

vons déduire des couples s, s’ en posant

Sn s = S'a N et déterminant À et par les deux équations

À+X'—=— min. de (S+S'), À—}'= max. de (S + 25°) — max. de (S' +28).

Les nombres s, s/ ainsi choisis satisfont aux trois conditions requises.

Les nombres S et S' peuvent être tous pris positifs; si l’on figure chaque couple S, S' par un point dans un plan, en donnant pour abseisse et pour ordonnée à ce point S et S', l’ensemble des couples (S, S’) est figuré par divers points, Traçons alors une ligne polygonale tournant sa concavité vers l’origine dès coordonnées, ayant pour

6o OEUVRES DE G.-H. HALPHEN.

sommets des points (S, S') et laissant d’un même côté l’origine et tous les autres points. Les sommets de cette ligne polygonale correspondent aux divers couples (S, S') qui sont suscepubles de rendre maxima l'expression Sy + S'n. Le sommet qui, pour une valeur

d ÿ : ë A , | RS donnée de 4 fournit le maximum est l'intersection des deux côtés

dont les inclinaisons sur l’axe des + comprennent entre elles l’incliÿ

A ST CE # ÿ + naison dont le coefficient angulaire est — = Au cas où Fees est le

coefficient angulaire d’un côté du polygone, les deux sommets de ce côté donnent tous deux le même maximum. C’est, comme on voit, la règle de Newton que nous appliquons ici. Le maximum de Sy + S'°n correspond à celui de sy +5". Il résulte de cette analyse qu’on peut construire des covariants F pour lesquels l’application générale de la formule (25) oblige à distinguer, parmi les cycles d’une courbe, des catégories en nombre aussi grand qu'on voudra. Effectivement, prenons, en allant de l'axe des S vers l’axe des 5’, les coefficients angulaires des côtés successifs de la ligne polygonale; soient pour ces coefficients, changés de signe, les nombres positifs décroissants +4, 7», T3, -.. Correspondant aux côtés qui joignent les sommets successifs

(S591); (9:9:), (S:5,), S:9,),... Le maximum de > (sy +s'n)

se composera des éléments suivants :

Vo So ù Vo +55 > no pourles cycles — > 7,

13 Vi + sy ni pour les cycles Tire its

& 5 Vo So ù Va 8% ÿ na pour les cycles 72 > se > T3)

et ainsi de suite. On peut cependant observer que les inflexions ordi-

da

naires et les rebroussements ordinaires donnent chacun un même élé-

3 : 4e ie EE ment, = C. Pour une courbe n'ayant que des singularités ordinaires,

la somme considérée est donc =c(r +2); d’ailleurs H est nul aussi

dans ce cas, et la formule (25) se réduit à trois termes

| - À a+ am + SONT PO:

48. De cette discussion résulte une conséquence importante : pour les questions où il s'agit de déterminer sur une courbe le nombre

des points en chacun desquels a lieu une relation donnée entre les éléments infinitésimaux de la courbe au delà du second ordre, les points singuliers ne peuvent étre représentés par des équivalents en nombre limité, et dont la définition soit indépendante à la fois de la question particulière et de la courbe qu’on envisage. Mais, si l’on partücularise la courbe en restreignant le nombre des diverses sortes de singularités qu’elle possède, on peut obtenir des formules générales, les mêmes pour tous les covariants différentiels. S1, par exemple, on n’accorde à la courbe que des singularités ordinaires, On aura pour tous les cas la formule (24). Mais, tandis que, cette formule (24) s'applique aux courbes quelconques, rend il s’agit de covariants du second ordre, elle ne s'applique plus qu'à des bee particulières quand il s’agit de covariants d'ordre plus élevé. Si même on veut se borner à des courbes sans rebroussement, on peut s’en tenir à la formule N = wu + w'm, qui est générale dans le cas où 1l s’agit de covariants du premier ordre, parüculière quand il s’agit de covariants plus élevés. Mais cette dernière formule ne présente pas, comme la formule (24), l’avantage de contenir les singularités nécessaires, c'est-à-dire celles qui existent forcément quand on envisage à la fois deux figures corrélatives. -

49. Ces formules, d'application restreinte, portent cependant en elles un renseignement précis. Si l’on envisage une courbe sans aucun point singulier, on peut appliquer la seconde formule N — wu+w'm. Mais, en ce cas, on a u=m(m—1). Donc N=m(wm+uw—vw). Les points, dont cette formule donne le nombre, sont les intersections de la courbe, du degré m, avec une courbe covariante. La formule nous fournit le degré de cette courbe. Ainsi, les points qui, sur une courbe du degré m, satisfont à une même équation différentielle, sont à l'intersection de cette courbe avec une autre, dont le degré est w m E w'—w, les nombres w et w’ étant calculés comme au n° 29.

Pour appliquer la formule (24) à une courbe n'ayant que des singularités ordinaires, 1l faut calculer le nombre y. Or, d’après notre mode d'analyse, on trouve à cet effet le procédé suivant : substituez, dans le covariant, le développement

die ro] Ge mo].

» 2 I Le degré, en (x — 0), du prenuer terme est — =.

Le nombre + étant ainsi connu, nous pouvons prendre la seconde forme (24), et supposer maintenant une courbe sans singularités tangentielles. Nous aurons alors

m=np(u—1), Næ=p{[(w'+3y)u+o—uw—67].

D'où cette conclusion : Les points qui, sur une courbe de la classe n, satisfont à une méme équation différentielle, sont les points de contact de cette courbe et des tangentes qui lui sont communes avec une autre, dont la classe est

(w'+ 3y)p + wù — w'— 6%.

ExemPres. — Prenons le covariant du n° 32. L'expression de Q, montre que ce covariant s’évanouit en chaque point d’inflexion (Y=2,n—= 1). Donc il content le facteur D, ce que le calcul direct permet de vérifier. Pour le covariant, débarrassé du facteur D, les nombres w et w’ doivent donc être diminués des nombres analogues, 3 et — 3, relatifs à D. On a ainsi w = 12, w'=— — 15. Doncles points sextactiques d’une courbe de degré mn sont sur une courbe covariante, du degré 12 m — 27.

La même expression de Q, donne, pour un point de rebroussement Vin 2) = y ranouy— 10 DonGHles tansentés aus points sextactiques d’une courbe de classe x appartiennent à une courbe covariante de classe 12 1 — 27.

Les deux exemples du n° 42 donnent ici ces conséquences : les points où une courbe de degré m a des contacts du second ordre avec les coniques d'un réseau appartiennent à une courbe covariante du degré 3 (m — 1); les tangentes aux points où une courbe de classe 4 a des contacts du second ordre avec ces mêmes coniques appartiennent à une courbe covariante de classe 3(4 — 1); ces nombres sont doublés s’il s’agit des coniques passant par un point fixe et bitangentes à une conique fixe ; et généralement pour une série de coniques à deux arbitraires, on a les nombres analogues 37 (m—1), 3Y(u— 1).

50. Nous allons maintenant prendre quelques exemples de la formule générale (26), relative aux covariants du troisième ordre et à des courbes quelconques.

ExempPLE 1. — Prenons le covariant G lui-même. Il ny a qu'un

ZAfS DURS I seul terme, défini par les nombres a = a! — # bris 5

Le nombre des coniques ayant avec une courbe des contacts du troisième ordre, et par rapport auxquelles un point donné est le pôle d’une droite donnée, ou encore qui touchent une droite donnée en un point donné, ce nombre est

I IN N=-(m+u)+= D (n+v)+H.

Application à la courbe 2(y72z — 2?) = x,

énvisSagée au n 3% mu—0. Deux cycles; Y2n;n:—38,#v;—02, [N° / a ON 9 n+y)—=1. Un cycle y—=n—2, k—=1, H—r.

3 s V3 ; LP + ) ( à. ; , Donc N = 10.

Application dla courbDe Y2y1—7P7 F4;

S1 l’on envisage l'équation différentielle des coniques ayant avec une courbe donnée des contacts du troisième ordre, cette équation sera du second ordre et son degré par rapport à D sera N. Nous reportant au résultat général établi précédemment (n° 43), nous avons cette conséquence : les coniques dont chacune a un contact du troisième ordre avec une courbe (m,u) et un contact du second ordre avec une autre courbe (m,,1,) sont en nombre |

[a Cm + po) + 5 Dr er) +4 [Gsm pu)

Exemrze 2. — Pour le covariant F, nous allons prendre le premier membre de l'équation différentielle des coniques passant par un point et touchant une droite. Cette équation étant compliquée, nous ferons le calcul sans la développer. En désignant par ?,,6,,r, les coordonnées du point donné, déterminons les coefficients de l'équation d’une conique par les équations

PA

F9) = 19 + G22 05 + a3202 + 241201 Va + 2023 0203 + 2031 301 = O0,

uis