MU

J'arrive maintenant aux nouvelles équations que ja annoncées au début de cette note. Pour faire mieux comprendre l’origine que je

. : Nrige 4 . T leur assigne ici, je reprends léquation (4), y changeant x en =

et x en a2?o. C’est donc (après avoir divisé par a?)

æ?\?2 dy 2 dy TET Ar 1) x (11) (1-2) ni LE 2 + | 7 = 0:

Supposons maintenant &@ infini : l'équation se réduit à

d y | mm + 2

(AR dx? x? FA Cette dernière présente, pour æ —0, les mêmes caractères que la précédente; mais 1l n’en est plus rien pour Pinfini, qui est un point singulier irrégulier. Ce nouveau point singulier est 1e1 la réunion des deux points singuliers réguliers, x — a et x —— a, que présentait l'équation primitive. | L'intégration de l’équation (12) est dès lors immédiate : 1l suffit, dans l'intégrale de la précédente, de faire les mêmes changements et les mêmes suppositions que dans l’équation.

Nous avons changé x en &?4; donc $ devient infimi et sa partie

ALT I her P L— 7 dec T F principale est - a a. De même, se change en et sa partie

ë , « principale est — : On a donc DD

(13) 1) , m(Mm Hi) I ne Re sn &

x! I NE 122 \2

SUR UNE NOUVELLE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 609 D'autre part | ?

z\ À Ra lim — ex va, 1 + —

La solution complète de l'équation (12) est donc

y = À eva ft) PNDe TE J{— x)

T nt x!!! ?

f(x) ayant la signification marquée par l'égalité (13). Cette équation (12), au surplus, est depuis longtemps connue avec sa solution, déduite de divers artifices qui l’ont, jusqu’à présent, laissée isolée.

Par les mêmes changements, l'équation (5) devient

d'y 4m(m+1) dy 12m(m+1) dy Mr ANURER +) Me Lie PR ce LEE

Cette dernière donne lieu aux mêmes observations; d’ailleurs, on

obtient quatre solutions y en prenant les produits des solutions « et des solutions z pour les deux équations

Bz je +a] AOL

dx? x? Î du m(m+i)

D dx? æ?

La seule remarque qu'il convienne d’ajouter ici, c’est que, pour l'équation (14), on voit directement la nature du point æ — 0, tandis qu’elle échappait pour l’équation primitive (7). |

Effectivement, l'équation reste inaltérée par le changement de x en + x et +ix, et il n’y a pas de condition subsidiare pour les racines de l'équation déterminante dont les différences ne sont pas

multiples de 4.

Considérons encore l’équation

dnr-1 y

dns

dr F(N)= Te + Q ++ Quy=o,

où l’on suppose

1 I nt Qu= RS [An — À: (= ra PRÉ a.) ?

les constantes extrêmes étant A,— 1 et À,— 0. Ses solutions sont :

(15) ÿY = (1+5) ) où y est racine de l'équation

FD) =o= (pr)... (pr +2) NT +Aip(u—i).. (un +3) + An + Ans; et 2° | :

D Ka U+1 (16) Y = (+ £) ta nr CE (+ z) 4 F(p +1) ;

Le n—1+at).

En supposant £ infini, on a

/ — (2 + À ;a — à) y, FR FE

+ Ana) se

et, pour cette équation, l’infini est un point singulier irrégulier. Les racines y ont pour parties principales $#, si $ est racine de l’équa- Uon

o(b) = O — Gr—1 + À; RES PE SE A no B + À 1 ,

et l’on a, au lieu de (15), les solutions eP*, Quant à la solution (16), elle tend vers zéro. On peut aisément trouver sa partie principale.

Mais, à cause des cas particuliers, il est plus expéditif de procéder ainsi. On a généralement (17)

" \ «8 RC) = (12 hote

En supposant d’abord que 8 soit une racine multiple, d'ordre m, de »,

on en déduit F(xk ex) —0o (K£m—1)

et l’on a les solutions ebx, æœelz, ..., æm-lefx,

Supposons que & soit aussi racine de ©, multiple d'ordre p (p pouvant être égal à zéro). On aura, en prenant les dérivées p% et (p+r)imes,

SUR UNE NOUVELLE CLASSE D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Gr

dans (18), par rapport à y, et faisant ensuite y — 2, F(xP PA) — — op) (æ) exx, F(ær+1 eXx ) __—— = p(P+1) (a) eEXL, d’où résulte la solution — eXx oiP+1)(4) xP — p(Pl{@œ)xP+1].

4 Le ? )

Après ces exemples, on comprendra aisément la démonstration du théorème général suivant :

Taéoreue 11. — Pour qu'une équation linéaire d' d'i—1 (19) Po Pi ___— Ya Pons + Pay =0

s'intègre sous la forme y = x f(x) + dro(x) +...

Où f,®,... sont des fonctions rationnelles, il faut et il suffit : 1° que ses coefficients soient des polynomes entiers, dont le degré ne surpasse pas le degré du premier d’entre eux, P,; 2° que son intégrale générale soit uniforme (c’est-à-dire que tous les points singuliers, sauf l'infini, soient seulement à apparence singulière).

La nécessité des deux conditions est évidente quant à la seconde, très facile à prouver quant à la première, et nous y reviendrons plus loin. Démontrons d’abord que ces conditions sont suffisantes.

Nous supposons que les deux conditions sont effectivement vérifiées. Divisons le premier membre (19) par P,, et décomposons chaque coefficient en fractions simples. On aura ainsi

a es 2 R LES a! 4 a! œt772—1) (20) P, DD in ee Er nm Pare nt e

aan (æ—a)"—1 (x—a)"n-1 Là

Il se trouve, sous le signe de sommation, autant de pareils groupes que P, a de racines a. La partie entière se réduit à la constante B,,, en vertu de la première condition; Ja partie fractionnaire est au plus

Gr2 OEUVRES DE G.-H. HALPHEN.

du degré m, en vertu de la seconde condition, suivant laquelle x = & est un point singulier régulier.

Soit maintenant £ une quantité arbitraire, que nous supposerons tout à l'heure infinie. Considérons, au lieu de Q,,, une fraction analogue X,,, mais avec d’autres coefficients, sauf la partie entière B,,, quin'est pas changée :

{ a\?2 Xl 1+ £) \ LA

ae a ent À (21) Xn=Bn+d —— le S .

re D a)" (æ—a)"—i (æ—a)"—? GREY; à « Les nouveaux coefficients a!,,..., a" sont, pour le moment,

indéterminés, dépendant de { d’une manière quelconque. Avec ces fractions X,, X2,..., X, composons l'équation différentielle

dry X:; dn-1y

1+ — A ï X» dan? y Xn-1 dy Xn 0.

T 2 dx'—2 TNT TL n—1 dx sr T rs Fe (+ ) (+ =)

Cette dernière a les mêmes points singuliers réguliers a que la proposée (19), et, en outre, le point singulier régulier x =—1t; de plus, l'infini est, pour cette dernière, un point singulier régulier, tandis qu'il ne l'était pas pour la précédente. Pour l’une et l’autre, l'équation déterminante est : même à chaque point singulier régulier a; car la (x— a)"

(: Ha

D’après la seconde condition. cette équation déterminante a toutes

Himite de est 4», pour æ—a, comme celle de(x—a)"Q,.

ses racines entières. Cherchons à déterminer les coefficients arbitraires de X,, X:,..., Xn, de telle sorte que x = a soit, dans l’équation (22), un point à apparence singulière. D’après la théorie géné-

rale, nous aurons par là équations entre ces arbitraires. Fai-

sons de même pour chacun des autres points analogues; soit Æ le nombre des racines distinctes telles que a; nous aurons, de la sorte,

des équations en nombre D'autre part, X» content

(m—1) coefficients arbitraires ee les fractions à dénominateurs (æ—a),(x—a),...; X, contient donc, en tout, Æ(m—1) coef-

ee 0. WAT nf | SE Dért OT 2 2." es CAF re *, AN LÉ Li + : à dE d ; PEL Tps p: o PRE Ne NES $ SUR UNE NOUVELLE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 613

ficients arbitraires; et l’ensemble X:, X3, ..., X, en contient

[ y a, comme on voit, juste autant d’inconnues que d'équations. Ce ne serait pas une raison suffisante pour admettre, sans discussion plus approfondie, que le problème peut être résolu; mais il faut ici

faire l’observation suivante : suivant l'hypothèse, la seconde condition

est vérifiée pour l'équation (20); or, en supposant que a,,, .…, a?

et les analogues varient avec + et deviennent, pour € infini, / + dz 2 . : =: 3 » . . Ce M) L,..., an 1, l'équation (22) dégénère en l'équation primitive.