TA RES

Les coefficients de X,, X:,..., X, étant ainsi déterminés, l’équauon (22) tombe dans le cas du théorème I, et l’on peut obtenir sa solution complète sous la forme

b. 4 LT PA) (1+2) log” (it À) fe) + (1+ 2) log4 (+5) DE) +.

Il reste à examiner la limite de cette intégrale, pour { = «. L’équation déterminante, pour l'infini, est la suivante :

(24) Me Co ANNE En DCR AE Tr) pe nr 0) +Æ2B20(p—1)...(o—n+3)+...+4-1B;, 10 + 4B; = 0.

Cette équation peut admettre des racines indépendantes de {; mais une telle racine doit rendre nul chacun des termes du polynome. On a donc de telles racines dans le cas unique où quelques-uns des dermers coefficients B,, B,,, ... sont nuls, et ces racines sont 6, 1, ..… Supposons donc que, parmi B,, B,,, ..., le premier coefficient différent de zéro soit B,», on aura : 1° les racines 0, 1, 2, ..., m—1; 29° (n— m) racines, toutes variables avec £. Si, pour une de ces dernières, On pose p — wé, on voit que w converge vers une racine ÿ de l'équation

(25) On=m B,0n-m-1 B,fr-m-1, CB, y» —=0*

w est développable suivant les puissances descendantes de #, et le premier terme de ce développement est 4. On a donc

p1 étant infiniment petit par rapport à 4; 0, a une limite finie quand Ü est racine simple de (25); au contraire, le développement de p, com- 1 1

mence, en général, par un terme en F ou F5 AE quand Ü est racine double ou triple, etc. |

Soit, d'autre part, désignée par C», la valeur de la différence Am— By pour æ ——1. L'équation déterminante, relative au point L'MSNeSt

G(s—1)...(o—n+1) +é (Bi+ G)o(s—1)...(o—n+o) + L(B2+ C2)o(s —1)...(o—n +3) +.

+ AB + C1) os + ér(B,+ Ch) = 0.

2 1°. Lez. A CP SPORE MN PINT à \ "ce, x :

Les coefficients a,,, a, ... de X», déterminés par des équations algébriques, sont développables suivant les puissances descendantes de t; les racines & sont aussi développables suivant les puissances descendantes de £. Mais, d’après le théorème [, à chaque racine o correspond une racine 5, de telle sorte que o — & soit un nombre entier. Donc nécessairement il y à : 1° m racines constantes et entières 5, correspondant aux racines 6 — 0, 1,..., (m—1); 2° (2 —m) racines S—Û6{+50,, où 6, est infiniment peut par rapport à {, et, de plus, chaque différence 6, — 5, est un nombre entier; cette différence est donc constante.

Les racines entières &, qui composent le premier groupe, fournissent à l'expression (23) de y des termes

Es 2) log (+ =) 1(æ);

où-pestun des nombres 0, 1,2, ...,(m —1);.où 2° le degré du numérateur, dans f(x), surpasse celui du dénominateur, au plus de (m—1—5) unités. Mais le dénominateur est indépendant de {; il se compose des facteurs tels que (x — a)*, correspondant aux points à apparence singulière, avec des exposants 4 respectivement égaux, pour chacun, à la plus petite racine (négatuve) de l’équauion déterminante, changée de signe. Les termes dont il s’agit ont pour limites, quand £ est infini, les limites des fractions rationnelles f(x) limites qui sont elles-mêmes des fractions rationnelles.

Les autres racines 3—46/+5, ont entre elles des différences variables avec {, en général. Les différences peuvent cependant être entières quand plusieurs racines 8 sont égales entre elles. L’exposant p du logarithme, en tout cas, est fixe, inférieur à (n — m), en sorte que le facteur logarithmique a toujours l'unité pour limite. Le degré du numéraleur de f(x) surpasse celui du dénominateur de (5 —e)

à M . : TINO: . . 0x unités, qui est un entier fixe; enfin | 1 + —) a pour limite e°*, Donc

les termes actuels ont pour limites des termes tels que CÉRAT AE

Observons d’ailleurs que les termes rationnels sont compris eux-mêmes dans cette dernière forme, si l’on y suppose Û —o, et qu’en outre ils sont en nombre m, pour conclure qu’en effet, comme on l’a annoncé; si les deux conditions énoncées au théorème IT sont

vérifiées, l'équation différentielle s'intègre sous la forme (26) Ho Dee) et que les coefficients 8 sont les racines de l'équation

On B,01-14+ B,02—2+,,,4+B,; 10 + B,=o.

Effectivement, si le groupe de racines entières os existe, cette dernière équation a m racines nulles. |

Pour revenirà la forme primitive de l’équation différentielle, disons que, le degré, de P, étant p, et À, À,,..., À, étant les coefficients de +? dans P,, P,, ..., P,, l'équation fournissant les constantes 4 est la suivante :