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les autres termes composeraient une équation

dm y drn-—1 V

Cm LE OO POTTTETT

où l'infini serait régulier, et seulement à apparence singulière. Chaque racine de l’équation déterminante, pour l'infini et pour cette - équation nouvelle, est justement le degré du premier terme du développement. de y suivant les puissances descendantes de +, où la différence entre le degré du numérateur et celui du dénominateur dans la solution rationnelle y que l’on considère.

SR RE RE EN PT CT NE ER RE ee ne em Ni 72 7" ta A kr ESS T4 4 LT " à N «

SUR UNE NOUVELLE CLASSE D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. G17 2 À ? € « À l’égard d’une autre racine 8, on n’a qu’à poser

Ÿ = jé ex,

et considérer la transformée en 3, puis appliquer à cette dernière ce qui vient d’être dit pour une racine 0 — o. Par exemple, pour l’équa-

tion (12), en prenant Û— /x, on aura la transformée ds 20 Vas — m(m+i)z=0o.

En supprimant le premier terme, on a pour l'équation déterminante, exva f(x) a

relative à l'infini, la seule racine zéro, d’où la solution

avec un polynome f(x) de degré m.

Quelques mots suffiront à prouver la nécessité de la première condition mentionnée au théorème IT. L’équation admet, par hypothèse, n solutions distinctes que l’on peut développer ainsi : »

VE edx(æm + Aixam + Aoæm-2 RTE A

Les développements de deux solutions distinctes diffèrent, si l’on veut, soit par la constante 4, soit par l’exposant m. Si l’on compose maintenant les coefficients de l’équation différentielle avec ces solutions, on voit que le quotient de deux coefficients quelconques donne toujours lieu à un développement (suivant les puissances descendantes de x), où le premier terme est une constante, si toutefois on suppose les constantes À toutes différentes de zéro. Dans ce cas donc, tous les polynomes P sont d’un même degré. Mais, si l’on change y en y e*, le premier polynome P, reste inaltéré, tandis que le degré d’aucun des autres ne peut s'élever. Donc, en tous les cas, même si une des constantes Ü est nulle, aucun polynome P,, n’est de degré supérieur à celui de P;.

Le théorème IT est entièrement démontré. Nous en avons déjà vu des exemples, où l’on avait explicitement l’équation dont la proposée était une dégénérescence. En voici maintenant d’autres où, en conservant l’entier indéterminé », on ne saurait pas trouver la forme explicite de cette équation primitive :

dy 1— mm? dy 1 — n°?

re as ee er

OR ARE ACL CORTE SNS ARS LRU eg EE RE D LR nn te Le Lt CENTER A PET EN TES 0 Ce RÉ NRT RLSS SRU dE SC AA D ROUE EE RP ET ER MES RE ONU? 3 € RE ETS Pr TL TT É ; + FT URPCE Lee T \ s

t 2 = : > ; : SEC

Les racines de l’équation déterminante, pour æ = 0, sont 1,1+4-m, 1— m. Sim est enter, non divisible par 5, le point + = 0 est à apparence singulièr e.

: rexye En prenant une solution, qui sera de Ia forme nn Uk

f(x) étant un polynome entier du degré m, et y changeant la déter-

mination de Va, on aura la solution complète.

Dans mon mémoire Sur la réduction des équations De reTRERES linéaires (Savants étrangers, t. XXVIIT, p. 183) (!), j'ai donné, pour le calcul de ce Ones (æ), un oué de fondé sur la us uon de l’entier 7. Mais 1l n’est pas utile de le mentionner autrement ici. F n’y a aucune difficulté à faire le calcul direct sur l’équation (28) elle-même. En posant

on obtient immédiatement l'équation récurrente 3 Va (k+2)Apso = Va[3(X +i)(f+o)+i m']Agyi—(k + Tr [(k +1) — m°]A;.

Au mémoire que L viens de citer, j’emprunte encore l’exemple suivant (p. 273) (?)

OMS TRS 4 m(M +1 m(m+i1)(m+3)(m—2 y pre ) y" 3 4 He ( ){ ) ) se EDR, x? RE xt

Si m est entier positif, le point æ — 0 est à apparence singulière et LES LPSAMART Le l’on a quatre intégrales de la forme ez V2 f (+) » [ étant un polynome

entier du degré 77. On peut, à volonté, former des exemples analogues.

Pour généraliser le théorème Il, on pourrait chercher les condions caractéristiques des équations qui s’intègrent sous la forme

ie y CURE SEAT).

Ces équations présentent d’abord les caractères suivants : 1° si le

(') [Œuvres d’'Halphen, 1. II, p. 159.] \ COCA In 108)

é Rs

4 rs de P, est p, celui de P, est au plus p+m ET. celui de Pa. PH 0 pi + o(m—1),...; 2° l'intégrale générale est uniforme. Mais un a dr ; examen sommaire fait reconnaître que, sauf dans le cas examiné ici, FT

" où m—i1, ces conditions sont insuffisantes. Il y a, en outre, d’ autres 24 à | LES Es Eu qui ne me sont pas connues. Et PUR $ RAT | mis | J6:54 ES è U is »

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