SUR UNE
LINÉAIRES INTÉGRABLES (!)
Extrait du Cours d'analyse de l’École Polytechnique, par C. JoRDAN, t. LIT, 1887, p. 211-219, n°s 170-175 (3° édition, 1915, n°° 174-179).
Considérons les équations dont les intégrales sont partout régulières et sont monodromes dans toute région du plan qui ne contient pas le point £,. Les autres points critiques {», ..., &, des coefficients de l’équation ne pouvant être que des pôles pour lintégrale, les équations déterminantes qui leur correspondent n'auront que des racines entières et les logarithmes disparaîtront des développements
correspondants, ce qui donnera (nu — équations de con-
dition, dont l’existence sera à vérifier.
Lorsque l’ensemble des conditions précédentes est rempli, on peut trouver l'intégrale générale. En effet, on peut alors déterminer un système d’intégrales particulières formant une ou plusieurs séries, et telles qu'aux environs du point {, les intégrales y,, ..., ya d’une
(1) C. Jordan avait voulu résumer, dans son Cours d'analyse, le précédent mémoire d'Halphen. Arrêté par la difficulté signalée plus haut [ p. 613, note (1) ], il remplaça ce résumé par la rédaction d’une nouvelle démonstration qu'Halphen lui avait indiquée. C’est cette rédaction que nous reproduisons ici, conformément à l'avis même exprimé par C..Jordan dans une lettre à M. Louis Halphen, en date du 1 mai 1920 : « Ne conviendrait-il pas, écrivait-il, de reproduire comme fragment posthume quelques pages de mon Cours d'analyse (t. III, p. 222-230, n°° 174-179)? Elles ont trait. à l'intégration très intéressante d’une classe d'équations différentielles ; et bien que la rédaction soit de moi, la découverte du théorème et toute la démonstration sont de votre père, ainsi que je le dis d’ailleurs à cet endroit de mon livre. »
(Note des éditeurs.)
même série soient de la forme
J'o = (£—t; )'Uo,
J'1 = (£ = li )"(0: Uo + ui),
Vr=(t— ti) (0ruo+ ri +... + ur),
Uo, --., Ux étant des fonctions monodromes aux environs du point 4, r désignant une racine de l'équation caractéristique qui correspond à ce point, et les 0 étant définis par les relations
ne Neue se AT RER Een
Les fonctions w5, ..., ux, définies par les équations précédentes, seront des fractions rationnelles. En effet, les points #2, ..., ty étant des points ordinaires pour les fonctions (£—4,)7" et log(t—#,), et de simples pôles pour 75, ..., yx, seront de simples pôles pour Uo, --., ux. Donc ces fonctions sont monodromes, non seulement aux environs de £,, mais dans tout le plan. D'autre part,
et
sont des expressions régulières pour {= ; il en est de même pour Yo» ---, Ya et, par suite, pour wo, ..., ux. De ces deux propriétés réunies on déduit que w,, ..., w; sont des fractions rationnelles de la
Ps Px forme — , ….s .
On pourra d’ailleurs les déterminer par des opérations algébriques. En effet, connaissant les pôles {:, ..., &, des intégrales et leur ordre de multiplicité, on pourra former le dénominateur Q. Le développement de l'intégrale générale pour {= fera connaître le degré des numérateurs P,, ..., P4. Pour obtenir leurs coefficients, 1l ne restera | plus qu’à substituer les expressions précédentes dans l’équation différentielle et à identifier le résultat à zéro.
Considérons encore les équations de la forme
dm x dnm-1% dti LÈ dtni-1
ar Pyæ As
où P,,..., P, sont des polynomes dont le degré soit au plus égal à celui du premier d’entre eux, P5.
Lorsque l'intégrale d’une équation de cette forme n’a pour points critiques à distance finie que des pôles, ce qu'on reconnaîtra aisément par les méthodes classiques, on pourra obtenir l'intégrale générale par les considérations suivantes.
Remarquons tout d’abord que la condition imposée aux degrés des 2 O | D D a P: - Ph polynomes P équivaut à dire que les développements de Pa Map
suivant les puissances décroissantes de t{ ne contiennent pas de puis-
sances positives.
Posons maintenant æ=Ry,
R désignant une fraction rationnelle en £. La transformée en 7,
Po R PAL nat Po R “dim 1 dtr-2
dm dire1 y Le m( 1) P, Rp’ dm 2
+ PR + (m—i)P;R — Ps: R
sera de la même forme que la primitive en x; car son intégrale n’a que des singularités polaires, et ses coefficients sont rationnels et pourront être rendus entiers en chassant le dénominateur commun. Enfin, si nous admettons que R, développé suivant les puissances décroissantes de {, commence par un terme en #?, ses dérivées, R, R”,..., commenceront par des termes d'ordre moindre en 4P°1, 472, .... On en déduit sans peine que les développements des coeflicients de l'équation (après division par P$R) ne conuendront pas de puissances positives de £.
Cela posé, on peut déterminer a priori les pôles (4, t2, ... de l’in-
tégrale de lP’équation (14) et leurs ordres de multiplicité {14,, de, Posons
VI SA e UP A NE PRET ES
La transformée en y,
dr V d'i—1 13
Qor es rm trs Ji D)
appartiendra au même type que la primitive; mais ses intégrales n'auront plus de pôles.
Posons y —/eMz,
La transformée en 3 (après suppression du facteur commun ext) sera
0 = Qe DE + mA Q ue O,tl + Q +am-1Q; +- je + Q dm" z amis
0 din —+ 1 din + se LS R2,
et appartiendra encore évidemment au même type. Mais on pourra disposer de l’indéterminée À, de manière à annuler le coefficient du terme de degré le plus élevé dans R,», qui sera dès lors un polynome de degré moindre que R,.
Supposons ce résultat atteint, et cherchons à nous rendre compte de la forme des coeflicients de l'équation en z.
Soient 0,, 0,, ... les racines de l'équation R; — 0; on aura par la décomposition en fractions simples, en remarquant que Rzest au plus du même degré que Ry,
les À, B étant des constantes. (En particulier, À,, sera nul.) D’ailleurs chacun des points Â; étant un point ordinaire, aux environs duquel les intégrales sont régulières, l'indice { ne pourra prendre dans la sommation que les valeurs 1, 2, ..., Æ.
L’équation déterminante relative au point h; sera
r(r—0...(r—m+i) +B:ir(r—i)...(r— m+o2) + Bysor(r—i)...(r—m+3)+... = o.
La somme de ses racines est
mm —1) ne Miit
D'ailleurs f; étant un point ordinaire pour les intégrales, ces racines
seront nécessairement entières, non négalives et inégales. Leur somme est donc au moins égale à
m(m —1) DER NT Qi
donc B;,, est un entier non positif. À fortiort la somme
étendue à tous les points critiques apparents, sera entière et non positive.
Cela posé, admettons d’abord que R,, ne soit pas nul et pre-
- AA FL dz ; 2 nons pour variable auxiliaire la quantité = 7. L'équation en z pourra s’écrire dm—1 3! d'n-2 3 CP PS EF 1 Tres NU Rx 2—0:
Différentiant, il viendra
d'n 3! dn-1 3!
Ro + (CR + Noiéerrerr +...+R,3—=o.
Eliminant 3 entre ces deux équations, on aura la transformée en &
dm z' drni-1 3!
RoRn—— + Lt R° A R; ) Rn — Ro Rh] dti
dt pe LCR 1 gite R y) Rm — R 1 on Zi 0:
Cette équation est évidemment du même type que l'équation en 3; et le rapport des deux premiers coefficients, qui dans l'équation pri-
. . = . 1 mitive était R,” Sera devenu
CR +R) Run — Ro Ry sr R: , R° FR.
Ro R de Ro a Ro R»
Or soient Ro = Co CE — 04 )Ai( € — 03}... Rn = Cm(t— Ti)Bi(é es Ta )Pe. ee on aura 5 R5 2%, &
RTE re
et, de même, RL Ba
dalle ee SR Déesse ra tee: QU AR se Ve d'A CS RSS GS
La somme S', analogue à S, formée pour l'équation en z/, sera
donc S+EZx— 28
et sera supérieure à S, car Z4, degré de R,, est supérieur à Y$, degré dérhe
La dérivée seconde 3” satisfera de même à une équation du même type, mais où la somme S”, analogue à S, sera supérieure à S'.
Si l’on pouvait poursuivre ainsi indéfiniment, on obtüendrait par là une suite illimitée de nombres entiers S, S', S”, ... non positifs et croissants, ce qui est absurde. Or on ne peut se trouver arrêté qu’en arrivant à une équation où le coefficient du dernier terme soit nul. Supposons que celte circonstance se-présente pour léquation en 3(*. Cette équation admettra, comme intégrale particulière, une constante ; et l’équation en 3 aura pour intégrale correspondante un polynome I de degré n; enfin, l'équation en y admettra l'intégrale parti-
eulière eXtI.
sie en fo de.
La nouvelle variable y, satisfait à une équation d'ordre mm — 1, et dat q ë
Posons maintenant
qui, d’après ce qui précède, appartiendra au même type que l’équauon en y. On pourra donc en déterminer une solution de ja forme eX"Il,, IT, désignant un polynome.
Vi= €ht In f y core
on continuera de même jusqu'à ce que l’on arrive à une équation du
Posant
premier ordre, dont l'intégrale sera
En
ni = Con eAm-1t1l» 1,
Cm désignant une constante arbitraire.
Les intégrations indiquées sont d’ailleurs de celles qu'on sait effectuer et fourniront un résultat de la forme
y = Ecrewy,
les W} désignant des polynomes et les cx des constantes arbitraires.
Divisant cette expression par le produit CT CE da), 5, on aura l’intégrale générale de l'équation en æ, sous la forme (15) AN a ER UA À
les fx étant des fonctions rationnelles.
Réciproquement, toute équation différentielle dont l’intégrale générale est de cette forme appartient au type que nous avons considéré.
En effet, éliminant les constantes c; entre l’équation (15) et ses dérivées et supprimant les facteurs communs exponentiels, on obtiendra une équation à coefficients rationnels que l’on pourra rendre entiers en chassant les dénominateurs. Soit
dt x
0 dt +. + PO
cette équation. Son intégrale n’a, à distance finie, que des singularités polaires. Reste à prouver queslestdeorés desert etre passent pas celui de P,;.
La chose est manifeste pour les équations du premier ordre; car de l'équation À = CCr0T (Qt)
on déduira, en prenant la dérivée logarithmique, l’équation
dx dt qu Li Le ft)
où le coefficient À + TT développé suivant les puissances décroissantes de £, ne contient pas de puissances positives. Supposons d’ailleurs le théorème établi pour les équations d'ordre m — 1. I} sera vrai pour l'équation dm-1u |
0 Tnt nee Ou (Oz
qui admet pour intégrale générale
l 2 NE AN A Co — e\%2 s : SRE Cm — elXm—Ai)t Jmtt)
D été te) dt HU
car chaque terme de cette expression est le produit d’une exponen-
NH je Us o uelle par une fraction rationnelle. Il sera encore vrai pour l'équation. TE MAC der: | 1 jet e, d'u du HS + + Dm fe TA Te O é 1 à TO MS id ES dont l'intégrale générale est | MUR Ci Co ElXr—at f00) SC Ge fm fm), ; | | | AC) Ro HSE ASC el si nous posons | N F de ; :
Her ; Fe AGEN | il sera encore vrai pour la transformée en x. Or celle-ci a précisé ment pour intégrale générale F \ + À 2 Dore), lATAAM Hu de : . j , a # | Re E Le + tn NA “< it ne PA ï x s ve.
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