TS M LE RE

Assurément le plus curieux en ce moment à mes yeux était de reconnaître bien exactement les fautes commises dans les démonstrations qui ont été données de ce prétendu théorème. En ce qui me concerne, j'en «1 donné deux démonstrations ('), et Je n'ai pas eu besoin de les relire pour en trouver le défaut. Ce défaut consiste à n'avoir pas tenu <ompte des coniques qui, dans un système, se réduisent à une droite avec un seul point-limite. Cest aussi le défaut, je crois, de la démonstration de Lindemann. Mais à cet égard je n’affirme rien, n'ayant pas l’ouvrage sous les yeux. Mais il me tardait beaucoup de revoir la démonstration de Clebsch (Mathematische Annalen,t. VI, p. 1), dont ma mémoire n'avait rien conservé de précis. Depuis hier Je l’ai sous les yeux et l'ai étudiée avec le plus grand soin. Elle a d’abord les défauts que je vous signalais dans les miennes, mais elle en a d’autres. C’est de quoi je vous demande la permission de vous entretenir. Pour me suivre, il est nécessaire que vous la placiez sous vos yeux.

Je trouve excellent tout ce qui précède la page 10. C’est là que commencent mes observations. D’après le résultat de la page 12, les deux nombres que Clebsch appelle 4, y (ceux que Chasles appelle x, 5) sont les deux coefficients du module de la condition H— o. Ils doivent donc s’échanger entre eux quand on transforme Il corrélativement. Or cet échange n’a pas lieu entre les deux nombres

u = minimum de æ+y+oû, = minimum de 8 ++

de Clebsch.

En effet, dans

(1) fatoBAYE(f.e, A.u?) (p.1o), remplaçons partout a;x par ax. On sait qu’alors w;; se remplace par AR ÉLANDAT A2

Donc (1) se remplace par

p%fPB A2Y+BF(o.f.A, A2u?),

et comme F est homogène par rapport à ses deux variables, et de

(1) Voir Œuvres d'Halphen, t. 1, p. 98. (Note de Zeuthen.)

EXTRAITS DE LETTRES A ZEUTHEN. 631 degré 5, (1) se remplace par (2) px fBA?Y+8+ÈF(o.f, A.u?).

Le nombre qui remplace $ + Y — à est maintenant

moins un nombre constant, égal au minimum de 2y + 8 +5, puisque l’on doit supprimer dans l’ensemble des termes (2) Le facteur commun. Or ce nombre ne coïncide pas avec le minimum de & + > + à.

On croirait volontiers que Clebsch raisonne comme si l’on pouvait changer, pour faire une transformation corrélative, simplement a;x en &,x et réciproquement, sans altérer alors À. Mais même en faisant cette supposition inexacte, la formule

ZAHyY+Ô=T—2(B+Y+H+Ô) (p.10)

s’opposerail à ce que w et y s'échangeassent entre eux; puisque y est le minimum de 8 + y + 0, v serait alors le naæimum de a ++!

Voilà, je crois, de fortes objections. Pour les faire tomber, il suffit de donner à y et y leurs valeurs exactes qui sont, suivant moi,

. 5 A n v = minimum de (P+2y+o),

Cette valeur étant prise pour y, on a, après la transformation corrélative, la nouvelle expression suivante du nombre qui remplace

a+ 2(2Y+B+Ô)+Ô—ov = 7 +y— 2,

dont le minimum a lieu pour y —‘, et est r —2y—u.

Ces rectifications faites, je vais vous donner explicitement ce que l’on peut dire, à mon sens, pour ne point commettre de faute.

Le théorème de Chasles est exact quand la condition H = o est telle que le minimum de 5 + 2Y + à s’oblienne pour ÿ — 0.

Dans le cas contraire, 1l est exact aussi st le système de coniques ne contient aucune conique réduite à une droite avec un seul point limite.

Dans les autres cas, il est inexact.

La démonstration de tout ceci serait trop longue...

Le 18 novembre 1870.

Hier avant de me coucher, j'ai jeté un coup d'œil sur ce papier (!) et grand a été mon étonnement d’y voir que le nombre des triangles communs [dans un plan] à un système cf et à un système oo" s’exprime par une formule aa + bb'+... d’un nombre déterminé de termes:

Si vous avez conservé le souvenir d’une conversation que nous eûmes à Paris, vous devez savoir qu’une telle formule est impossible pour les triangles, ct cela plus clairement encore que pour les coniques (?).

Du premier coup, je savais donc avoir sous les yeux des théorèmes faux. Je connais le secret de former des exemples qui mettent en évidence la fausseté de semblables propositions. Je me mis donc de suite à en former un pour le cas actuel, et j'ai cherché à rendre cet exemple le plus simple possible. Je vais vous l’exposer, et vous m'en direz votre avis. Je prends le théorème de Schubert concernant le cas où 1— 1. On a donc un système Y/ et une condition E.

Le triangle a pour sommet à, b, c et pour côté opposé à a, a; à b, BP; y |

(a), (b"), (c') sont les ordres des lieux de a, b, c dans 2°. 1° { (x), (B’), (y') les classes des enveloppes de a, $, y dans 2°. (£') le nombre des triangles dégénérés dans X’. (eb?ce?) est le nombre des triangles satisfaisant à E et qui dégénérent de

À manière que D, c coïncident entre eux en un point donné.

(ec?a?), (sa?b?) sont les nombres analogues.

(TB2y2), (Ta? 62), (ra?2) sont les nombres corrélatifs.

Enfin (Ws?9) est le nombre des triangles satisfaisant à ZX, où les trois sommets coïncident avec un point donné et où, en méme temps, les trois côtés coïncident avec une droite donnée passant par le dit point.

(*) Le papier en question contenait un extrait du mémoire que plus tard M. Schubert a inséré aux Mathematische Annalen, t. XVII, p. 153, en y ajoutant une restriction causée par la critique d’Halphen. L'exemple contenu dans la présente

lettre servira à montrer la nécessité d’une telle restriction. (Note de Zeuthen.)

(2) L'objet de cette conversation doit avoir été une observation d’Halphen sur laquelle il est revenu dans la lettre du 29 novembre 1839 qui va suivre ici. (Note de Zeuthen.)

Ces définitions posées, le théorème consiste en ce que le nombre des triangles de ÿ/ qui satisfont à Ÿ est ES

x—=(a')(eb?c?) + (b')(ec?a?) + (c')(ea2b?) + (a°) (cB2Y2) + (CB) (ave) + (71) (ra 2) + [(a') eu +(c)+(s) (Es g).

C’est à ce théorème que je vais maintenant faire des objections par un Fe Pour Y re prends le système suivant :

Les sommets b, c sont donnés et fixes. Le sommet «a a pour heu.

une courbe C de deare m passant en à et y touchant bc. Je suppose, en outre, que b soit un point muluple d'ordre u sur la courbe GC, à pouvant être l'unité. On a alors

Cr) ==, LE Ge 0; (a )=o, (Pi=m, (yY)=m—n

Quant à (2') je ne me hasarderai pas à prévoir sa valeur; mais je La chercherai en prenant une condition Y, particulière donnée par Schubert pour exemple. Le triangle doit-étre inscrit à une conique B, passant par trois points donnes. Les nombres que Schubert donne sont les suivants :

(sb?c? te c? La) = (earbr) (spa) = (ep 22) = 7a?$?)= 0, RSS Ainsi #(S', S)=(a)+ (0 )+(c')+(e); or évidemment x(2°, Z)=2m—p=mE#rt(e).

Donc | (et)= m — p. j

Je connais maintenant toutes les caractéristiques de Ÿ’, et J'ai donc avec une condition quelconque

#(2', E)= m(ebtet) + msyte)+(m—p)(ratft)<(m—p)(Fs2g),

(:) Page 173, formule (62) dans ile mémoire cité de M. Schubert, transformée au moyen de la formule (9), p. 160. (Note de Zeuthen.)

ou, en faisant

(bte?) +(ryiar) + (safe) + W(sg)= A, (ap) + (Vs) =B,

x(2, 2)= Am —Bv.

Je prends pour le triangle abc la condition È suivante :

On donne trois points w, w”, w". La conique Q passant par ces trois points &, w/, W” et tangente à bc en b doit passer au point @.

Il est aisé de trouver a priori x(2°, È). Eu égard à la définition de Ÿ’, le point b et la droite be sont donnés. Donc Q est déterminée d’une seule manière. Les intersections avec la courbe C donnent les sommets a, dont le nombre est x(2°, ?). Or ne saute-t-1l pas aux yeux que ce nombre ne dépend pas seulement de m et 1, mais aussi du nombre des branches de GC tangentes à bc en b, et même des ordres de leurs contacts avec cette droite? Pour avoir le nombre exact, 1l faut distinguer parmi les x branches de C :

1° , branches non tangentes à bc;

2° uw, branches ayant avec bc des contacts d’ordre inférieur à l’unité ; soit y, la somme des ordres de ces contacts;

3° 34 branches ayant avec bc des contacts d'ordre égal ou supérieur

à l'unité.

D'’alleurs | Mi + = pe Et l’on a

(1) #4(È, E)=92m—p—v— 3, formule qui ne peut en aucune façon coïncider avec #4(Z, S)=Am—Bu,

où À et B doivent être des nombres constants. Ils suffirait de supposer

u—1, c'est-à-dire le point b simple sur C, pour avoir

#4(2”7, Z2)=2m—92 — Am —B.

D'où l’on conclurait

EXTRAITS DE LETTRES A ZEUTHEN. 639 Par suite, dans le cas général,

(2) 4(2,2)=2m—on.

Et cette formule (2) est inexacte et donne un nombre trop petit. Car (1) peut s’écrire

4(2, 2)=2m—20p + Hi+ Ho—v,

Où ty EL Uo — V2 SOnt positifs.

Voilà, je pense, un exemple propre à convaincre.

Pour le commun des mortels, je pourrai le simplifier beaucoup de manière à ne pas parler de point singulier. Ainsi dans X’, laissons de côté celte condition que G touche bc en b. Si C passe seulement en b, supposé point simple, x(X°, Ï,) ne sera pas changé et sera 2m — 1. Par suite (<') sera toujours (mn — 1), que GC touche be ou ne touche pas bc.

Donc :(2', X,) sera le même, si le théorème est exact, dans les deux cas. Or, si G ne touche pas bc, on a

(2, Z) = 2m —T, et si C touche be, KO 2) 2 mt — 2:

C’est la même démonstration simplifiée...

Le 2Q novembre 1879.

… Je pense que, pour le bien général, on doit souhaiter que toute formule caractéristique, si elle n’est pas applicable à tous les cas, soit accompagnée d’une définition précise des cas où elle s’applique..…

J'ai déjà dit à vous, à M. Schubert et à la Société Mathématique, que, pour toute figure, il existe une formule au + Êv+yo +. d’un nombre déterminé de termes donnant le nombre de figures qui satisfont à une condition et font partie d’un système, si ce système ne contient que des dégénérences caractérisées par un seul infiniment petit. Je l'ai dit pour la première fois, il y a trois ans. C’est à ce moment, vous le savez, et comme conséquence, que Jai trouvé ce qui concerne le cas des coniques. Je n'ai pas publié

cette proposition, trouvant qu'elle n’en valait pas la peine. J'espérais d’ailleurs parvenir à trouver la formule générale pour les autres cas. J'ai été arrêté par quelques difficultés relatives au classement des dégénérences, difficultés que je ne crois pas insurmontables, mais très réelles. Je voudrais bien maintenant reprendre ce travail, mais je suis tellement engagé dans une autre voie que J'ai bien dé la peine à m'y décider. Je ne vous parle de tout cela que pour vous convaincre que je sais très bien le sens des formules en question, mieux sans doute que M. Schubert.

Pourquoi dites-vous qu il n’est pas permis de demander à la formule de donner dans tous les cas seulement des triangles proposés? Cela dépend uniquement de la défimniuon du problème posé. Pour moi, le vrai problème des caractéristiques est celui-ci :

On dit qu'un système et une condition sont indépendants quand, le système étant donné, les arbitraires de la condition, mise sous forme projective, sont laissés arbitraires.

Sr l’on cherche les figures d’un système qui satisfont à une condition indépendante, on appellera solutions étrangères celles qui ne dépendent pas des arbitraires de la condition, et solutions véritables celles qui dépendent de ces arbitraires.

Ces définitions posées, on demande le nombre des solutions véritables dans le problème de la recherche des figures d’un système qui satisfont à une condition indépendante.

Cet énoncé est clair et précis; c’est celui que j'ai donné pour le cas des coniques. Voilà le problème qu’on doit, à mon sens, désirer de résoudre. Quand il est ainsi posé, on voit bien que les formules de M. Schubert ne le résolvent pas dans sa généralité.

Je suis en correspondance avec M. Schubert au sujet des caractéristiques des systèmes de points en ligne droite...

La ni ve Le 7 décembre:x8;5,

. Ayez la bonté de jeter un coup d’œil sur la petite note que j'ai insérée dans le Bulletin de la Société Mathématique, t. H, p. 69 (*). Sans qu'il y paraisse tout d’abord, le préambule de eette note à quelque rapport avec les questions soulevées par votre lettre.

(1) [Œuvres d'Halphen, 1. I, p. 2035.]

Pas plus qu'il n’y a de courbe gauche générale de degré m, il n'y a

de système général de coniques de caractéristique 4. On ne peut rai-

sonner sur Ce qui n'existe pas. Mais voici comment on peut s’y

prendre pour obtenir des théorèmes tels que ceux que vous appelez généraux.

Pour une conique, par exemple, on peut considérer une condion GC comme cas particulier de la condition générale de degré a, entre les coefficients de la conique. Soit Ÿ un système; alors (E, CG) —vo(a), © ne contenant C que par la lettre a. On en conclut immédiatement (a) —= au. Voilà un théorème général.

En voici un autre. La même condition GC peut être considérée comme cas particulier de la condition générale de degré b entre les coefficients tangentiels de la conique. On a alors (5, C) — o(b) — by. C’est encore un théorème général.

Fort bien; mais pour une condition donnée, lequei des deux nombres choisir pour le véritable ? Cette prétendue généralité n’est donc bonne à rien, et tout le monde ici en conviendra.

Il résulte aisément de mon mémoire que toute condition C qui a les nombres caractéristiques 4, B est cas particulier d’une condition générale (x, 8). D'où encore (GC, Ë) — au + y; c'est encore un théorème général, meilleur, Je l’avoue, que les précédents, parce qu'il est dualistique, parce qu'il s'applique à une foule d'exemples séométriques, parce qu'il ... tout ce que vous voudrez; mais enfin 1l est moins général que le théorème véritable que j'ai eu tant de peine à trouver et que je défendrai jusqu’à la mort unguibus et rostro.

De toutes les raisons qui militent contre les théorèmes prétendus généraux, la meilleure est celle-c1 : les arguments dont on peut les couvrir disparaissent quand les deux êtres (G), (È) sont définis chacun par plus d’une équation. Dans ces circonstances il faut abandonner l’intuttion et revenir à l'analyse. J'entends par là le raisonnement véritable; je n’exige pas d’équation, bien entendu.

M. Schubert veut absolument changer la nature pour l’accommoder à ses formules. Nous traitons un problème qui a une solution : Une! plaisantez-vous? La formule en donne deux : Donc ily en a deux! Savez-vous comment j'ai répondu? J'ai pris la question comme cas particulier d’une autre, où la formule donne 5, et ensuite d’une autre

encore, où la même formule donne 1...

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