DÉMONSTRATION D'UN PRINCIPE ALGÉBRIQUE

( Extrait d’une lettre du 6 juin 1880.)

[ L'occasion de la présente lettre était une note de M. Zeuthen dans les « Proceedings of the London Mathematical Society », t. X, p. 196, éntitulée : Déduction de différents théorèmes géométriques d’un seul principe algébrique. Z7 s’y agissait du principe suivant :

« Soit donnée une forme algébrique entière, homogène et du second degré par rapport à chacune de deux couples de variables; formons les deux discriminants de cette forme, qui seront des formes quartiques contenant le couple des variables regardés comme constantes pendant la formation du discriminant : je dis que ces deux discriminants auront les mêmes invariants. »

Après avoir rappelé que le principe appartient originairement à Euler et avoir mentionné ses propres applications du même principe, Halphen continue ainst :|

A propos des mêmes fonctions, je viens de chercher dans mes papiers une nole (!) que J'ai écrite, sans la publier, 1l y a quelques années, et dont j'extrais quelques résultats qui vous intéresseront peut-être. |

Je copie donc cette note avec les notations qui S'y trouvent :

F=(arx?+92bxy + c y?)£e2 +o(a'ax?+ 2b'xy +c'y?)En + (a'x?+2b"xy + c'y?)n? = (aë?+oa'Etn + a"n°)x?

+ 2(022+0b'En + bn )xy + (cEt+ 2c'En + cn?) y2.

On suppose que (x, y) et (£, n) soient séparément transformés par des substitutions linéaires distinctes, et on demande, à ce point de vue, les invariants de F. |

Ces invariants seront à la fois des invariants des formes quadra-

(1) [ Voir ci-dessus, p. /69, ligne dernière. ]

EXTRAITS DE LETTRES À ZEUTHEN. 639 tiques simultanées (1) (noce dc), (a be"), el aussi (2) Care D DIRE EE ed CR:

Tout d'abord, il y a un invariant connu qui appartient à la fois MOLRO(D) ACTE

Kai D EE

a” b' ce’

Ensuite, le système (1) a, avec K, le système complet :

di = à c — b?, HA CA CNd = Dh b (3) d; = a’ c'— b'?, b—=a c +c"a — 20"6, d3 = a”c"— b"?, b—=ac+c a —2b bd",

et le système (2) :

0 CO A 8,= bc'+ cb"— 20b'c", (4) 0e = db" — b'?, 0, = ca"+ac"—2c'a, OC C Ra be Fos ab"

À première vue, on aperçoit que

2,2 + 099 do fo = ca! + ac" — 2b"?,

ce qui donne le nouvel invariant

On vérifie sans pèine que la quantité suivante

L — 4(di d3— tits) + ta(4J tee 32)

n’est pas changée si l’on échange les lettres d et 5 et aussi £ et D, en sorte que L est encore un invariant.

Ceci posé, envisageons le discriminant À de F, quand F est consi-

déré comme fonction de x, y; ona

A=6ditt+12t3t8n + 6(4 dat t2)E2n°+1246n + 6 dsnt,

DES