PACA CE M HO TETE

Formons, avec ces coefficients, ceux de l'équation tangentielle de

GAS M OEUVRES DE G.-H. HALPHEN, la conique :

L’équation différentielle s'obtient en mettant, dans l'équation tangentielle, les coordonnées de la droite. Toutefois 1l faut observer que les coefficients 4;; contiennent tous un facteur étranger (ouu }?; on le vérifie aisément par le calcul, et la raison en est que la conique passant par un point ? et ayant avec une courbe, en un point donné u, un contact du troisième ordre, se réduit à la tangente, si e est sur cette tangente.

L’équation différentielle doit donc être débarrassée du facteur (vuu')? sans quoi le nombre N que nous trouverions serait augmenté du double de la classe 1. Il faudra donc diminuer de deux unités le nombre w calculé sur le covariant, tel que nous l'avons défini.

Par rapport aux indices de dérivation, chaque coefficient a;; est du poids 6; le covariant est donc du poids 12. Diminuant ce nombre de deux unités, nous avons w — 10. Nous trouvons de même d = 16, par suite w'— à — 20 — — 8. Le degré b, par rapport à la dérivée du Lroisième ordre, est évidemment 2. Il nous faut maintenant trouver les nombres qui caractérisent les divers groupes de termes. Mais, ne voulant pas développer le covariant, nous opérerons en substituant directement le développement relatif à un cycle v n.

Les coefficients &;; étant donnés par des déterminants, un raisonnement tout pareil à celui du n° 32 fait voir que les ordres de ces coefficients pour le cycle sont respectivement les suivants :

ii; 22, A3, Ajo, A3, 31;

2V— ON, VY—2N, 2V, V—QN, V—Nn, 2Y—N.

Il en résulte que, parmi tous les coeflicients de l'équation tangenelle, c’est «33 dont l’ordre est le plus petit, 2Y — 4 n. Ce résultat, ° » V . .

indépendant du rapport =» montre que, dans ce covariant, il n'y a qu'un seul groupe (s, s') pouvant donner le maximum de (sy+s'n). De cette analyse résulte

N=1iou—8èm+2H + Ÿ (nav); en combinant avec (22), on obtient la forme dualistique

he m+u+È(n+v)+2H

Ainsi les coniques qui ont des contacts du troisième ordre avec une courbe, et qui, en outre, touchent une droite et passent par un point, sont en nombre double de celles qui touchent une droite en un point donné. C’est une proposition connue dans la théorie des caractéristiques.

Exeurze 3. — Le calcul précédent s'applique encore au covariant qu'on obtient en envisageant les coniques passant par deux points. Ge covariant est une fonction linéaire des a;;, tels qu'of vient de les trouver. On obtient ainsi la formule

nombre des coniques ayant avec une courbe un contact du troisième ordre, et passant par deux points. Corrélativement

I ES, =(Gm+u)+ d(r+v)+H

est le nombre des coniques ayant avec une courbe un contact du troi- ‘sième ordre et touchant deux droites.

Le covariant dont il s’agit ici peut aisément être formé comme :1l suit. Soit &, — 0 la droite qui joint les deux points, et soient b,— 0, Cu = 0 deux autres droites coupant la première aux deux points donnés y, 8. L’équation d’une conique passant par y et $ peut s’écrire

dr B e UE fé Fe u u du du eh by 2 d? 2 2 ce Cu Cu du du

d’où, en effectuant les calculs,

d ne LE | di [er uu') 2(Buu') ?(yBu)}(uu'u” | = 0, [4 L

Quand B et y coincident, on retrouve ainsi le covariant G sous la forme donnée précédemment. Pour l'équation différentielle corré- P q lative, celle des coniques touchant deux droites c, —0, b,; —0, en désignant par & leur point d’intersection, on aura de même 5 P P ;

HT 2 8 Ti [cbr ag? (uu'u')] = 0;

qui donne encore G quand les deux droites coïncident.

ExEmPLE 4. — Nous allons former un exemple dans lequel aient lieu effectivement les circonstances qui distinguent la formule (26) de toutes les précédentes. i

Soit une courbe anharmonique (K) donnée, et représentée par l'équation

bicr, = K us 4,

dans laquelle a,, by, c4 sont trois trinômes du premier degré en u,, us, us. Considé:ons les courbes anharmoniques (K'), ayant le même exposant le même point singulier c, = 4, = 0 avec la même tangente €, — 0, et ayant en vutre, avec (K) en ce point, le contact le plus élevé possible, quand d’ailleurs on choisit arbitrairement pour chaque courbe (K") le second point singulier et la tangente en ce point. Ces courbes (K° satisfont à une équation différentielle du troisième ordre, que nous allons former, et dont le premier membre sera le covariant que nous prendrons pour exemple.

Soit by À Au X'Cy = 0 la Langente de (K') au second point singulier, et soit ay À'Cu = 0 la droite qui joint les deux points singuliers de cette courbe. L’équation de (K') aura la forme

(bras EXC = K(a EX Cu)P#T,

où le coefficient K est précisément le même que pour la première courbe, à cause de la condition relative au contact de (K) et (K”) au point singulier commun.

L’équation différentielle s’obtiendra par l’élimination de À, \, 7. Afin de bien préciser le calcul, introduisons les sommets du triangle de référence, en les désignant par &, 6, et dénotant les coordonnées de chacun d'eux par lalettre correspondante affectée des indices 1, 2, 3.

Supposons Gy, Vus Cu ainsi choisis :

Au = (Pyu), bu = (yau), Cu = (apu).

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES-ALGÉBRIQUES PLANES. 67 Rappelons-nous aussi les identités

be du re bu STE (apy) CY uu'),

(Buu')(auu')—(fuu')(auu') =—(aBu)(uu'u").

Ecrivons l'équation de as ainsi :

Différentiant une première fois et ayant égard à la première identité, nous obtenons

ne NE

Différentiant de nouveau, en ayant égard à la seconde identité, nous aurons | 1 p—q aSu}(uu'u” , :

CR = PT PRE (aGy)( 2e FES LA (Buu ) PRE 2 Pour éliminer la dernière constante À”, nous n’avons qu’à résoudre par rapport au dernier binôme, puis différentier, ce qui nous donne

d | | Srtenr ° ns

robert," = —= Fa d . E KA (ar) [PT q q

Pour achever le calcul en développant cette équation différentielle el la mettant sous forme entière, nous n'avons qu'àintroduire, comme il a été convenu,

* (Buu'}. (axBu)3(uu'u") 7 (aBu}? dt z| (Buu’)s |

Il vient ainsi, pour le covariant cherché,

F = (aBu)r+29 D?9-p— M(fGuu')1+2r Gap,

M — (1) "(ES q PSE (aBy)?K.

q se Cette forme de Fest entière si l'on a 9 > p. ose les autres cas, F prend la forme entière si on le multiplie par des puissances convenables de G et D; ce qui fait, en tout, trois cas à distinguer. Mais il est à remarquer qu'une seule formule suffit, comme on va voir.

Calculons la formule (26) dans l’hypothèse 9 > p. Nous trouve-

rons

N= (7+ put =(g— p}m+(q— pH+ EN Gun EN nat va), TES TRE EAT SUT, V1 En Vo Fe 2x 7 ee

D’après la définition du covariant F, on obtient le corrélatif par l'échange de p et g. En échangeant donc p et g, met, n et y, dans la formule précédente, on obtient celle qui convient au cas opposé, et qu'on pourra aussi calculer directement

N= (p=ghueL(p+g)m+(p=g + I ni) IT ns), TATE 7 T°, < D.

D a ip #l <p

En supposant, dans la première formule, que la courbe (m, a) soit elle-même une courbe anharmonique, caractérisée par les nombres

p', g', et admettant qu’on ait + les données seront

M'=ULE= DITS H—="0; LUS VDS Ts = DS Va

Il en résulte N = 394q + 2qp + pq. Faisons l'application DE Di NUE 4 ai Nos Étant données deux cubiques de troisième classe, si l’on envisage les cubiques de troisième classe ayant avec chacune des deux proposées un contact du troisième ordre, en üun point indéterminé pour l’une, au point d’inflexion pour l’autre, le nombre des cubiques considérées est égal à 18.

Ce dernier exemple fait bien voir que, pour les problèmes dont il s’agit, 1l n’y a pas d’équivalents, en nombre limité, aux points singuliers d’une courbe. Nous ne pousserons pas plus loin cette discus- . Sion qui, pour les covariants du quatrième ordre et des ordres supérieurs, donnerait des résultats analogues, mais avec une complication

toujours croissante.