TROISIÈME PARTIE

ol. On appelle correspondance entre les points de deux courbes C, C’, une liaison entre un point # de la première et un point x’ de la seconde, telle que, l’un de ces points x étant pris arbitrairement sur C, l’autre point x s’en déduise sur C/. Il n’est, bien entendu, question ici que de correspondances algébriques, c’est-à-dire exprimables par des relations algébriques entre les coordonnées rectilignes de x et x!.

De la manière la plus générale, la correspondance peut être telle qu’au point x correspondent X points x’, et, au point x’, k' points x. C’est le cas de la correspondance multiforme.

S1 Æ et k’ sont, tous deux, égaux à l'unité, la correspondance est uniforme, ou, comme on dit aussi, les courbes se correspondent point par pointé.

Il peut se faire que G et C’ coïncident. On a alors une correspondance entre les points d’une même courbe.

On ne doit pas confondre la correspondance entre les points de deux courbes avec la correspondance entre les points de deux plans. Cette dernière est une liaison double, telle que, un point x étant arbitrairement choisi, le point x’ s’en déduise. Assurément, une telle correspondance, appliquée aux points x d’une courbe C, donne une courbe C’ avec une correspondance entre les points de G et C/. Mais, dans cette application, les nombres Æ et À’ peuvent être modifiés. Soit, par exemple, la correspondanee

x = æ?, Dre

Envisagée pour le plan, elle est caractérisée par £ —=1, k'— 4. Mais, appliquée à une courbe C qui n’a aucun des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axe de symétrie, elle donne lieu à une correspondance uniforme.

D'autre part aussi, une correspondance donnée entre les points de G, C peut être regardée comme l’application à C d’une correspondance entre les points du plan. Mais, en vertu des équations de C et C”,

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cette dernière correspondance n’est pas définie, et peut être variée

d’une infinité de manières.

Il s’agit ici des correspondances envisagées seulement pour deux

courbes et non pour le plan. ù

52. Les correspondances pour lesquelles on a Æ—1 méritent une mention spéciale. En ce cas, les coordonnées de x’ s'expriment rationnellement par celles de x. Dans les correspondances uniformes, les coordonnées de x s’expriment rationnellement aussi par celles de x’. Pour faire cette. inversion, il faut se servir, non pas seulement des expressions de +’, y'en æ, y, mais aussi de l’équation de C, excepté dans le cas où la correspondance considérée est l’application d’une correspondance uniforme dans tout le plan.

Par exemple, la correspondance considérée tout à lheure, appliquée à la droite ax + by —1, prise pour C, est uniforme; l’inversion se fait par les-formules

> @x—by'+1 b?y'— a?x'+1 EEE report | = mm 24 Y 2 b

Si, au contraire, on applique la même correspondance du plan à la parabole y — +?, prise pour CG, l’inversion se fait ainsi

! f V=T, Le

C' coïncide avec GC, et l’on a #'= 2.

Toute correspondance peut être ramenée à la combinaison de deux autres dans chacune desquelles l’un des nombres caractéristiques est l'unité. Soit effectivement une correspondance (, Æ') entre x etæ sur C et C’. On peut, d’une infinité de manières, pour chaque couple x, x', construire un point &, tel qu’à chaque point £ corresponde à la fois un seul point x et un seul point x'. On prendra, par exemple, le point de concours des tangentes de Cet C'enxetx', ou bien le point où la droite xx’ touche son enveloppe, ete. Le point £ a un lieu F. Entre + et Ë sur GetT existe une correspondance (k, 1); entre £ et x! sur T et C! une correspondance (1, 4’). La correspondance (x, æ') est ainsi la combinaison des correspondances (æ, 6), &, æ') dont les nombres caractéristiques sont (k, 1}, (1, #!).

93. Soit une correspondance (x, æ') caractérisée par les nombres

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(k, 1). Pour les coordonnées de x' conservons +, y’, entendant par là, comme précédemment, les rapports de deux coordonnées homogènes à la troisième; pour x prenons des coordonnées homogènes Ui, Us, Us. La correspondance donnée permet de considérer w,, Us, Us comme trois polynômes entiers en x', y’. Désignons par g le degré commun de ces trois polynômes.

Considérons un cycle (C') sur la courbe C’. Soit { une variable correspondant uniformément aux points de ce cycle (n°9); prenons les développements de x! et y! suivant les puissances de £ qui définissent le cycle (C'), et portons-les dans w,, us, u3. Les coordonnées de x étant ainsi développées suivant les puissances entières de 4, ces nouveaux développements définissent un cycle (C). Le paramètre t peut correspondre uniformément aux points de ce cycle (C); le contraire peut arriver également, suivant les cas. D'une manière générale, imaginons que o valeurs de £ correspondent à chaque point de (GC). La correspondance entre les points des deux cycles (G) et (C’) est caractérisée ainsi par les nombres (0, 1). Au cycle (C) peuvent correspondre d’autres cycles (C/), (C/), .… sur C!. Soient DSC; de les nombres analogues à b pour chaque couple (C)(C),(C)(C ),

La somme p + 0, + 02... marque le nombre des points de la courbe C qui correspondent à un point du cycle (C), c’est-à-dire à un point de la courbe C. Cette somme est donc égale à k.

Si le cycle (C') est pris arbitrairement, c’est-à-dire si son origine

est un point arbitraire de C, les nombres p sont tous égaux à l’unité.

. Quand un de ces nombres est supérieur à l’unité, 1l y a coïncidence

entre plusieurs points æ correspondant à un même point æ'. Nous allons trouver une relation entre le nombre de ees coïncidences et les éléments des courbes G et C’ envisagés.