Considérons une fonction linéaire des uw, soit

A = jui + A9 Ur + A3 Us.

Envisageant cette fonction le long de la courbe C’, appliquons le théorème du n° 27. Les cycles relativement auxquels l’ordre de a diffère de zéro, quels que soient les coefficients a, sont : 1° ceux qui correspondent aux coordonnées x', y' infinies ; 2° ceux qui corres-

pondent aux zéros simullanés des trois polynômes a. En ce qui con-

cerne ces derniers, désignons par L l’ordre commun aux trois poly-

72 OŒUVRES DE G.-H. HALPHEN.

nômes relativement à un pareil cycle ; la totalité des zéros communs à y, Uo, Ua donne, pour la somme des ordres de a, l'élément 34. Quant aux premiers, chacun d’eux donne l’ordre — 4; leur nombre est le degré m' de la courbe C’. Leur ordre total est donc — m'q.

Les cycles relativement auxquels l’ordre de a diffère de zéro, et qui varient avec les coefficients a, répondent aux intersections de la courbe C avec la droite & = 0. À chacune de ces intersections correspondent k points de C'; ces intersections ont pour nombre le degré m de C. La somme des ordres relatifs à ces cycles est donc km. En égalant à zéro la somme totale, on a ainsi l'égalité :

km = m'q —S 2.

Considérons maintenant une fonction linéaire &« des coordonnées tangentielles de æ, soit | du LE LH .

Appliquons encore à &« le même théorème.

Les points à coordonnées infinies donnent ici la somme

— 2m'(qg—1).

Ceux en lesquels dx! est nul donnent la somme — y’, la classe de la courbe C” étant désignée par w'. Examinons maintenant quels sont les autres éléments de la somme des ordres, indépendant des coefficlients «.

Prenons un cycle (C), d’ordre n'. Supposons que, relativement à ce cycle, les polynômes w aient l’ordre k. En faisant une combinaison linéaire de ces polynômes, on pourra faire disparaître le terme en t/. Soit alors À + N le degré du premier terme qui subsiste. Il est visible que l’ordre de x, relativement au cycle (C/), est2h+N — n'. Tel est l’ordre de 4, relativement à tout cycle (C’), où les coordonnées de l'origine sont finies, et où la tangente n’est pas = const.

Enfin la somme des ordres de 4, pour les cycles dont les origines varient avec les coefficients x, est égale à Æu, la classe de G étant désignée par u. Nous avons donc

kp=2m(g—1) + —Ù (21 + N— n').

L’élimination de g entre les deux relations conduit à celle-ci : C2) k(u—am)= p—om—%(N—n).

Do. Pour dégager, dans la formule (25), les éléments géométriques, envisageons d’abord l'hypothèse Æ — 1. En ce cas, C et C’ se correspondent point par point. La variable { qui correspond uniformément aux points d’un ne (C!) correspond uniformément aussi aux points du cycle (C). D’après le n°9, N est l’ordre du cycle (C). Mettant alors n pour cet ordre, nous avons à RÉEDETe dans (27) tous les couples (C), (Cr) correspondants où(n—n)n'est pa nul. En prenant ces couples, nous pouvons écrire

u—2m + (nr — 1) = g—om + (ni).

Mais, dans cette dernière forme, la sommation peut se faire, pour chaque courbe, indépendamment de l’autre, pourvu qu’on n'omette aucun des cycles d'ordre différent de l’unité. Ainsi :

Le nombre DES TrEE > (n — 1) se conserve dans toute corres-

pondance uniforme.

On verra plus Loin que ce nombre est. pair et a pour minimum — 2, On peut donc l'écrire 2 (p — 1) :

(28) 2(p— 1) = p—2m+ (ni).

Le nombre entier, non négatif, p, s'appelle le genre de la courbe. Deux courbes, qui se Re point par point, sont du méme geitre.

D6. Prenons maintenant kÆ différent de l’unité. Le nombre N est alors égal à 5 n, n étant l’ordre du cycle (C) correspondant à (C), et o dédiehant le nombre des points de (C') qui correspondent à un même point de (CG). Pour donner à l'égalité sa forme définiuve, envisageons maintenant une seconde correspondance (x', x”) entre un point de C/ et un point d’une autre courbe C”, et supposons cette correspondance caractérisée par les nombres (1, 4”). Nous avons, en

appliquant l'égalité (25) à G, C, et à C’, C, A(u— 2m) = u'— om+Ÿ (on — n°),

k'(u'-"27m) “Er. LL — om+Ÿ (nn).

La propriété essentielle des sommes > qui interviennent ici con-

siste en ce qu’on peut les étendre à tant de cycles ‘qu'on voudra, sous la condition de n’omettre aucun de ceux où l’élément de la somme n’est pas nul. On peut donc tirer des deux égalités cette autre

(29) k(u—am)—#(p—am')= À (n° — pr).

C'est là une des formes qu'on peut considérer comme définitives, tous les éléments étant susceptibles de définitions simples. Voici, à cet égard, les observations à faire :

1° Dans la formule (29), les courbes GC et C" ont entre leurs points une correspondance quelconque (k, k”) (n° 52);

2° Les lettres net n" désignent les ordres de deux cycles correspondants (CG), (C’) sur ces deux courbes; chaque point du cycle (CG) a, sur (C”), des correspondants en nombre o, et chaque point de (C”) a, sur (C), des correspondants en nombre 0”.

57. Voici maintenant une autre forme de la même relation. Nous

pouvons transformer (20) ainsi

k(u—om)+Ù (nn K(g—om)—Ù pr = Te" — 0),

où chaque somme sera étendue aux mêmes éléments que précédemment. Mais, d’après (29), on peut les étendre à tant d’autres éléments qu'on veut. Pour chaque cycle (C) qui figure déjà dans ces sommes,

prenons tous les correspondants (C”). Comme on a Dee le

second terme de la dernière relation devient D (n— 1). Répétons la même transformation pour chaque cycle (C”) qui figure actuelle-

ment dans les sommes, et le quatrième terme devient #” à (n"— 1).

Etendons ces deux sommes Ÿ (7 — 1) et > (n"— 1) à tous les cycles

D DR V4: .- V1 « 1 ns. Es ST 5 Re CR, an" é, > ee 5 a PDP 2 TA CNE DUT RARS CURE TES, NT Re ca Le Fe È À SA NELT ES 3

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES. 75 (C) et (C”) pour lesquels les éléments ne sont pas nuls. Il restera au second membre la somme D (2°— 0) étendue à tous les couples (C)

et (C”) correspondants considérés, et cette somme se réduira à tous les couples (CG) et (GC) pour lesquels (9° — 9) n’est pas nul. Faisant usage de l'égalité (28), nous conclurons

Hesse 0) a la signification sui-

Dans cette relation, la somme > (o vante : a et a” étant deux points correspondants, à un point + infiniment voisin de & correspondent © points æ° infiniment voisins de a”, et à un point x infiniment voisin de &« correspondent 6” points æ infiniment voisins de a. Quand a et a” sont les origines de

plusieurs cycles, on doit considérer successivement ces points comme ; "= ; Us NE Rte appartenant à ces divers cycles, pour faire la somme À (o'—0). Cette

relation (30), si remarquable par son extrême généralité, est due à M. Zeuthen. |

Comme on l’a observé précédemment, la correspondance peut avoir lieu entre les points d’une seule et même courbe. La démonstration précédente s'applique parfaitement à ce cas, et la formule (30)

donne

(30 AR) D =Ÿ (ep)

Le genre p, se conservant dans toute correspondance point par point, se conserve par dualité. C’est ce qu’on vérifie par la formule (29); en effet, si l’on écrit

p—om+S (n—1n=m—ap+ D)

on retrouve la formule (22).

En faisant usage des formules (30) ou (31) dans des correspondances diverses, on peut établir par une voie toujours la même une foule de résultats concernant le nombre des points qui, sur une courbe, satisfont à une relation donnée, ou même-concernant des groupes de points. Nous laisserons de côté ces applications pour aborder immédiatement une des questions les plus importantes qu'offre la théorie des correspondances, celle de la réduction des singularités.

58. Prenons les mêmes notations qu’au n° 53, mais supposons que la correspondance envisagée soit caractérisée par les nombres (1,1). Pour un cycle (C”) nous avons un cycle correspondant (C); les coordonnées d’un point de (C) se développent suivant les puissances croissantes de {, paramètre qui correspond uniformément, dans ce cas, aux points de (GC) comme aux points de (C/). Ainsi qu’on l’a vu au n° 9, la condition nécessaire et suffisante pour que l’ordre du cycle (C) soit l'unité consiste en ceci : les développements des coordonnées u,, U», u3 doivent avoir la forme commune

u; = th(A;+ B;t+...),

dans laquelle les trois déterminants A;B;— A;B; ne sont pas nuls.

Quand l’ordre n' du cycle (C/) n’est pas l'unité, cette condition ne sera pas satisfaite si l’on prend arbitrairement les trois polynômes w. Effectivement, si ces polynômes ne sont pas nuls à l’origine de (C'), leurs développements auront la forme À + B&+..., et le cycle (C) sera généralement d’ordre n'. On voit clairement que l’ordre de (C) ne peut être moindre que n', si les trois polynômes u ne s’évanouissent pas à l’origine de (C'), en d’autres termes si À est nul.

Nous allons montrer qu’on peut former un polynôme uw, entier par rapport à x', y’, et dont le développement, pour chaque cycle (GC) d'ordre n'> 1, ait la formé

u=th(as+bst+...),

les premuers coefficients &;, b;, ... étant donnés à volonté pour chacun de ces cycles.

99. Soit le cycle (GC) représenté par le développement de y’ suivant les puissances croissantes de (x'— x;), x! étant l’abscisse de son origine. Prenons, dans ce développement, l’ensemble des premiers termes jusqu’à un rang que nous allons préciser, et désignons cet ensemble par /;(4,), en sorte que le développement lui-même soit représenté par

g'— x, = te, J'= fstts) + Es(ts),

la lettre KF désignant le reste de la série. Le développement de y'a n! valeurs qu’on obtient toutes en prenant partout une seule détermi-

nation de £,, et en la multipliant par les diverses racines w, dew ‘= 1.

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES. rh]

Les termes qui composent f doivent être pris en assez grand nombre pour que f,(w,t,) ait précisément n° valeurs.

Il peut exister d’autres cycles, ayant la même origine que (C;) et qui soient représentés par des développements suivant les puissances de (æ — x), coïneidant avec le précédent dans un certain nombre de termes successifs. L'ensemble f, doit contenir, en outre, au moins le premier terme par lequel le développement fs+ F, diffère de tous les autres.

Ceci fait, prenons un polynôme entier arbitraire en 4,, ps(bs), et

os(wsts) PES 0 dd

appliquée à toutes les racines w, de l'unité. Cette somme est ration-

formons la somme

nelle en y! et {; c'est donc une fonction rationnelle de x’ et y’, æ,(x', y'). Pour chaque cycle (C'), dont l’ordre diffère de l’unité,

formons d’après la même règle une fonction rationnelle w,, en prenant

chaque fois ©, indéterminé, et considérons la somme +? de toutes ces

fonctions æ,. La propriété de cette somme +, qui va nous être utile, consiste en ceci : pour un quelconque (CG) des cycles précédents, le premier terme du développement de # est fourni par la partie correspondante w,.

Soit, en effet, s le premier exposant de t{, dans F;. Dans 6,, le terme Os(És) Y'—fs(ts)

t, est multiplié par une racine de l'unité, a sa partie principale de degré plus grand ; car, d’après la première condition observée dans le choix de f, le dénominateur a sa partie principale de degré moindre que 5. Pour une raison analogue, la seconde condition, observée dans le choix de f, a pour effet d’assigner à la partie principale de chaque autre fonction sr, un degré supérieur à — 5. C’est ce qu'il fallait

a sa partie principale du degré — 5. Tout autre terme, où

prouver.

En prenant w, à volonté, nous aurons ainsi le développement de pv, pour le cycle (C'), sous la forme ! / n re LU US ; MENT, (as+ Bsi+...).

Les coefficients #,, $,, ... seront arbitraires en aussi grand nombre qu'on voudra, pourvu qu’on prenne le degré de v, convenablement. Il suffit maintenant de prendre pour w le numérateur de la fraction

rationnelle »; le développement de w, pour chaque cycle (GC), aura C4 s

la forme demandée. Les coefficients a, b, ... et «, $, ... se déter-

minent linéairement les uns par les autres. Donc à,, b;, ... peuvent

être pris arbitrairement.

60. Prenons trois polynômes w,, u:, Us, construits comme on vient de le dire, et employons-les pour déduire une courbe C de la courbe C'. Tous les cycles (CG), qui correspondent aux cycles (C7) d'ordre n'=> 1, auront eux-mêmes l’ordre unité. Tout autre cycle (C/) donne d’ailleurs un cycle (C) d'ordre égal à l’unité. Effectivement, la circonstance opposée exige qu'à l’origine du cycle (C') soient satisfaites les conditions a = = me. Ces conditions, au nombre de deux, ne seront satisfaites en aucun point de C’ si les polynômes w ne sont pas particularisés. Ainsi à toute courbe algébrique on peut faire correspondre point par point une autre courbe qui n'ait aucun cycle d'ordre difjeérent de l'unité. On peut aller plus loin encore, en faisant entrer au nombre des cycles (C!) considérés précédemment tous ceux dont les origines sont des points multiples de la courbe C7, quand même les ordres de ces cycles auraient l’unité pour ordre. De cette manière, à toute courbe algébrique on peut faire correspondre point par point une autre courbe sur laquelle les correspondants de tous les points singuliers de la première soient des points simples, et qui n'ait elle-même d’autres points singuliers que des points doubles ordinaires. Ge théorème est dû à M. Nôther.

Les points doubles de C proviennent des couples de points æ', x pour lesquels les trois couples de valeurs de w,, u2, u3 sont proporuonnelles entre elles. Ces couples de points sont variables sur C/ quand on fait varier les arbitraires des polynômes w. Mais leur nombre

est entièrement fixé quand les polynômes w sont construits, comme nous avons dit, avec des polynômes © de degré déterminé. Effectivement alors le degré et la classe mn, de la courbe C sont donnés par les équations du n° 54. Puisque C n’a pas d’autre singularité, on a dans ce cas 4 — m(m—1)—2d, d étant le nombre de ces points. C’est un résultat bien connu, et qui sera d’ailleurs démontré bientôt.

Le genre p, commun aux courbes C et C/, est donné par la relation

2(p—1)=u— 2m, d'où l’on déduit CAE DIM SR

Des considérations, trop connues pour qu’il soit besoin de les

rappeler, prouvent que le nombre des points doubles d’une courbe m—i)(m

/ À ( 5) de degré » ne peut dépasser : ], Donc le nombre p est,

comme il a été annoncé, entier et non négatif.

GI. L'analyse des he 58 et 9 conduit à donner au théorème de M. Nôther une forme plus géométrique.

, r ® r , X Les coordonnées x’ et y” étant considérées comme les rapports. % Y

y de deux coordonnées homogènes X, YŸ à une troisième V, prenons

Let ’ Fr, r R ts une quatrième coordonnée Z et définissons y Par le rapport de deux

polynômes w, et u,, non plus d’un même degré comme précédem-

ment, mais de degrés qui diffèrent entre eux d’une unité : w, de

degré g +1, u, de degré g. En joignant à l’équation de la courbe C U;

ss : Z re :

l'équation ÿ — 77 nous définissons une courbe gauche T, qui a un

seul point singulier ; c’est le sommet Z(X = YŸ = V — 0) du tétraèdre de référence. En ce point, la courbe gauche se compose de cycles, d'ordre unité, ayant cette commune origine; les tangentes de ces cycles sont les droites aboutissant aux intersections de C' et de la courbe wo = 0, autres que les points singuliers de C7.

Si maintenant on fait la perspective de F en plaçant le point de vue arbitrairement, cette perspective est une courbe plane correspondant point par point à C’ et n'ayant pour points singuliers que des points doubles ordinaires (points doubles apparents de T), et la perspective de Z. Cette courbe plane n’a donc, elle aussi, aucun cycle d’ordre différent de l’unité. En faisant varier d’une manière continue le point de vue jusqu’à Z, on pourra obtenir C’ comme limite de cette perspecuve. Donc une courbe algébrique quelconque peut être considérée comme la limite d’une autre courbe n'ayant aucun cycle d’ordre différent de l'unité. Dans cette déformation, les points singuliers de C’ s’obtiennent par la réunion de points doubles entre eux. |

62. Pour faire comprendre la grande importance du théorème de M. Nôther, nous allons montrer, par un exemple, comment ce théorème permet de transporter à des courbes quelconques certaines propriétés faciles à prouver pour-les courbes à singularités ordinaires.

Soit une courbe CG du degré m, n'ayant d’autres points singuliers que des points doubles ordinaires, en nombre 4, et dont le genre p soit au moins égal à l’unité. Par les points doubles on peut mener des courbes Ÿ(x, y)—o du degré m — 3, et ces courbes Ÿ forment un système linéaire à p —1 arbitraires. En d’autres termes, il existe p polynômes d,, d,, ...,4, linéairement distincts entre eux. Soit f(x, y) = 0 l'équation de C, sous forme entière; et considérons l’une quelconque des expressions PERS — 6,(x) le long de la courbe C.. Un théorème célèbre, dû à Abel, et pour la démonstration duquel nous renverrons aux ouvrages spéciaux (!}, fait connaître la propriété suivante de la fonction Ü;(x). Soit un faisceau de courbes dont chacune rencontre la courbe C en À points variables avec le paramètre du faisceau, les autres points de rencontre étant fixes pour toutes les courbes du faisceau; en désignant par æ,, x, ...,æ) les abscisses des points variables, on à toujours

Ok(æ1) di + 042) dei +... + 8,(2)) dx) = 0.

De ce théorème, M. Edouard Weyr a déduit le suivant : si l’on peut, en modifiant le faisceau, faire en sorte que les À points de rencontre de C avec une des courbes du faisceau soient choisis arbitrairement, le nombre À est nécessairement plus grand que le genre p de la courbe C.

En effet, pour un quelconque des groupes (x,, ..., æ1) ont lieu p équations, telles que la précédente. Si l'on avait ÀZp, ces équations homogènes entre les diflérentielles dx,, ..., dæy entraïîneraient une ou plusieurs relations entre x, ..., x), Ce qui est incompatible avec l'hypothèse, un des groupes x,...x) devant pouvoir être pris arbitrairement. |

Si maintenant on applique une même transformation, à la fois, à Cet au faisceau, on obtient une transformée C/ et un autre faisceau. Les points mobiles sur C se transforment en points mobiles sur C/, et le théorème de M. Weyr s'applique à une courbe algébrique quelconque, les deux nombres À et p se conservant dans la transformation. ©

Il existe aussi une proposition réciproque. Revenons à la courbe OC, qui n’a que des points doubles ordinaires. Par ces d points et p +1

(1) Clebsch et Gordan, T'heorie der Abel’schen Functionen, p. 44.

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ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES, 8t

autres, choisis à volonté sur C, on peut d’une infinité de manières

mener une courbe C, du degré m — 2. Les autres intersections de C

et C, sont au nombre

Par ces dernières et par les d points doubles on peut mener un faisceau de courbes (C,), du degré m — 2. Effectivement le nombre total des pivots est

m(m—-2)—(p +1) —d = era LES Le C, est une des courbes de ce faisceau, et l’on a pris à volonté pour cette courbe C, le groupe des intersections mobiles, qui sont en nombre (p +1). Ainsi, tandis que le théorème de M. Edouard Weyr assigne au nombre À la limite inférieure p +1, nous voyons maintenant que cette limite peut être effectivement atteinte pour une courbe C à points doubles ordinaires. Mais ce résultat s'étend immédiatement aux courbes quelconques, et nous avons cette proposition générale : st, sur une courbe algébrique quelconque, on veut déterminer les points par groupes au moyen des intersections de la courbe avec les courbes d’un faisceau, et cela de telle sorte qu’un des groupes puisse étre pris à volonté, le minimum du nombre des points composant un groupe surpasse d’une unité le genre de la courbe.

Cet énoncé attribue au genre une signification géométrique tout à fait générale et, en même temps, montre clairement que cet élément se conserve dans les transformations uniformes.

. On remarquera que la démonstration a laissé de côté les courbes du genre zéro, du moins pour le théorème de M. Edouard Weyr. Mais ces courbes n’échappent pas à la démonstration de la seconde pre et l’on voit que, suivant l’expression de M. Chasles, les points s’y déterminent individuellement.

Dans la dernière proposition, la condition qu'un des gr oupes puisse étre pris à volonté est essentielle. Par exemple, les courbes hyperelliptiques, y?=F(x), où F(x) est un polynôme entier de degré 2n, sont du genre (n —1); et cependant les points s’y déterminent par groupe de deux seulement au moyen des droites x = const. Mais on ne peut pas prendre à volonté les deux points d’un même groupe.

63. Une assez curieuse application de la formule donnant le genre peut être faite à la courbe r* = cosk8 (n° 16). Il est visible que deux telles courbes se correspondent point par point quand les deux nombres tels que Æ ont le même numérateur pour les deux courbes. On doit donc trouver pour le genre une expression dépendant seulement de ce numérateur. Prenons, par exemple, le cas où ce nombre #

est positif, égal à 1. La discussion faite au n° 16 montre qu'il y a sur

la courbe 35 4 cycles d’ordre s.et de classe g. On a donc d'R—n) = 3q(s —:1).

D'ailleurs EAU 44), m = 2qs. Donc

2(p—i)=g(g+s)—4gs+3q(s—1) = g(g —3).