HEURES AUD LU RAT

Rs: «et

dont les exposants sont donnés par la formule générale (32). Dans cette formule, les entiers positifs s, g de même indice sont toujours premiers entre eux. |

Par construction, l’exposant d’un terme quelconque, intermédiaire entre ceux d'exposants t; et {;,,, a pour dénominateur celui de t; ou un de ses diviseurs.

Tous les exposants des termes qui suivent le dernier terme caractéristique ont pour dénominateurs nr ou des diviseurs de n.

Les exposants { sont les exposants caractéristiques, les frac-

tions — les nombres caractéristiques.

65. Nous aurons besoin de considérer simultanément deux développements différents, mais ayant en commun un certain nombre de leurs premiers termes. Employons, pour ce second développement, les mêmes lettres accentuées, et admettons que le premier terme différent de part et d’autre soit, pour y, ;

K 6 ti + Aæ did:

pour y,

PAR A'x Jar rs

K et l’un au moins des coefficients A et A différent de zéro.

Voici, à ce sujet, la recherche que nous avons besoin de faire. Prenant une des déterminations de y et successivement chaque détermination de y’, nous allons chercher l’ordre de la partie principale du développement de chaque différence y — y/.

Pour fixer les idées, soit © l'argument de la quantité complexe x,

choisi entre o et x, et admettons que la détermination considérée

z : D ee — pour y réponde à l'argument ——— pour #77".

qq ROC Jn

Nous obtenons une détermination de y’ en attribuant là encore à x l'argument +, puis en augmentant successivement cet argument de circonférences entières.

Pour la première détermination de y la partie principale de

"4 2 RE e ) à | A » 9 LA +) est du degré t; + PERTE C’est encore le même degré qu'on obtient en ajoutant à l’argument de x

2hqqi...qin.

ÉTUDE SUR LES POINTS SINGULIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES PLANES. 85 L’entier peut acquérir les valeurs / : / !

PSE rase (Qirts Jires LE qgk—1).

. VI / / Et k . ie, , nu SOIT id esse Q; il y à Q différences dont l’ordre est

K DE ——— qqi-.-qi

à : : = K Ce résultat s'applique encore si 1; DST est l’exposant carac- 1-.-4qi

téristique d'indice £ +1, dans l’un ou l’autre des deux développements. En ce cas seulement, le nombre K peut n'être pas entier.

Quand on ajoute à x l'argument 2 hkgg.. ‘ir, en prenant À non divisible par g;, on obtient, pour la partie principale de 7 — y", l’ordre {;. De la sorte il y a Q(qi— 1) différences d’ordre dr:

En ajoutant à x l'argument 2hgq:.. iQieT, h n'étant pas divisible par gi1, J ai Q gi qi 1 — 1) différences d’ordre t;,; etc.

Enfin, en ajoutant à x l'argument 247, h n’étant pas divisible par g; J'ai Qqiqi1...qi(q —1) différences d’ordre t.

La somme des ordres des quantités y — y” est ainsi K | Q ——— + qili— tin) + giqi-i(tii—tie)+...+ gigi 1..gt|, gq1...qi

ce qui peut s’écrire, en renversant l’ordre des termes,

qg1 qi [sg(gig2...qi)?+s qi (Q293...QiP+S g2(93q: À Qi +... +Sigi+ K].

Prenons maintenant pour y successivement ses diverses déterminations. Chacune d’elles conduira à ce même résultat. Donc la somme totale S des ordres de toutes les quantités (y — 7’) s’obtient en multipliant la précédente par gg:1...qx:

S — (qiviqira...qu) (Qira Qiao...g)[sq( giga... qi +... + siqi+ K].

Cette somme S est, comme on voit, symétrique par rapport aux éléments des deux cycles. C’est l’ordre d’un cycle par rapport à l’autre. |

S1 les deux développements n’ont aucun terme en commun, la somme placée dans les accolades se réduit à K.

66. Nous aurons à employer aussi une somme analogue obtenue en

considérant les parties principales des différences y — y, formées avec les diverses déterminations d’un même développement. L'analyse précédente s'applique fort bien à ce cas; et l’on a gx— 1 différences de l’ordre t4, ga(gx 1 — 1) différences de l’ordre {4,, ..., enfin

IkYk--1. -q1(q == 1)

différences de l’ordre £. On a, bien entendu, considéré une même détermination y et toutes les autres y, pour former y — y1. Le total est ainsi

(ge 1)trt+ qa(gua—t)te ni +. qu qka gt 1) à S Si S };:

= — (991... QT) EE (gr qe QT) EN ge).

PE TT qdi:..qk

En multipliant cette somme par le nombre des diverses déterminations de y et divisant par 2, on aura la somme T des ordres de toutes les différences y, — y», formées avec les diverses déterminations d’un même développement :

2T = 5g1g2...qx(qgq1...qu—1) + S1923...Qu(qiQa. Qu 1). + Sx(gr—i).

En supposant s — 4 —:,, et faisant HS, 90e D ODA ie dE 1e Ode

nous pouvons partager les expressions S et T chacune en deux parties, Savoir :

S=nn' +5, 2T=n(n—1) +2€

S et © ne sont autres que S et T où l’on a remplacé s par y. S1 y est positif, les développements représentent des cycles tangents à l’axe des x, $ est la somme des ordres des contacts des branches de l’un des cycles avec les branches de l’autre; € est la somme des ordres des contacts des branches du premier cycle entre elles.

67. La signification géométrique des nombres $, © montre clairement que les nombres caractéristiques sont indépendants des coordonnées. Cette propriété peut être aisément aussi prouvée par un calcul direct; mais nous ne nous y arrêterons pas, ce calcul étant très analogue à celui que nous allons faire pour un autre but : trouver les nombres caractéristiques en coordonnées tangentielles, étant connus les nombres caractéristiques en coordonnées ponctuelles.

Soient quatre développements suivant les puissances ascendantes d’une variable, et commençant par des termes de degrés positifs,

ain Si :

| PR ENRE, de Ja(Tr) DA are ; : b ACC AN CAR DONS

gr(ær)s par Bart, “7

Considérons, d’une part, les équations

= f(x), n=v9(xr);

et, d'autre part, E=f(a)+ fie), mega) +).

Si l’on développe n et n, suivant les puissances croissantes de £ par l'élimination de x et x,, les deux nouveaux développements auront en commun quelques-uns de leurs premiers termes.Cherchons le premier terme différent, ou mieux le premier terme du développement denis ni |

En supposant infiniment petites les quantités x, x,, CAN SON voit que la partie principale de x, — x est

celle de n, — provient ou bien de &(x,;) — (x), ou bien devw,(x:) suivant les ordres infinitésimaux de ces quantités. Par suite, la partie principale de n, — n est l’une des deux quantités suivantes : a—a+b bi b œ 8 ( ) a (: ) dl CR LTAINS oi (9 Ne PTE & œ

S1 4, — a — b, — b, la partie principale est la somme de ces deux quantités, pourvu toutefois que la somme des coefficients ne soit pas nulle : aa8, — ba;BZo.

Appliquons ce résultat en prenant les développements proposés de

cette mamière. F(x) et F,(x,) étant deux autres séries commençant respectivement par les termes A x‘ et À, x,tt#, prenons

dF d'ni HP e(æ) =»? # “P), 2 d F(æx:)

__ dFi(xi) RTL EU ER HIGRET Eprmenes PAREPR Rd

Nous aurons alors, pour la partie principale de r, — ”,

68. Au moyen de ce calcul préliminaire, nous sommes en état de

prouver que, st les nombres caractéristiques d’un cycle, en coor- 1 s, son données ponctuelles, t

le même cycle, en coordonnées tangentielles, a les nombres caractéristiques q Si S2 SZ ee. À | ——…—— € gr

Prenons les coordonnées tangentielles comme au n° 6,

Envisageons, comme précédemment (n° 66), deux déterminations du développement, y et y,, la seconde déduite de la première par addiuon de 29g,...q:,7 à l'argument de x. Prenant F(x) — y, et pour le développement F, prenant celui de y, — y, nous conclurons par le calcul précédent que, dans le développement de x suivant les puissances de €, il existe deux déterminations n, n, dont la diffé-

; AUDE : t+h à rence n, — ñ à sa partie principale de l’ordre , nombre qui est 1C1 2

S S: Sj fie + : ++ ee) C Ta gd192 TEST

PE ARR Ce RE NT Pt nie sie

/ KT CRE TA TE Xi: qi à Prenant successivement { = 1, 2, ..., k, nous concluons que le déve-

loppement de x en £ contient les nombres caractéristiques énoncés. Le dénominateur commun à tous les exposants étant /g:qg...gn, comme on le sait d'avance (n° 6), on conclut qu'il ne saurait exister d’autres nombres caractéristiques.

On peut de là tirer une conséquence relative au nombre € (n° 66): Prenant ce nombre et son analogue € en coordonnées tangentelles,

on a immédiatement 2(T—E) =(g —x)gigr...qu = n —v.

Cette égalité se traduit ainsi : La somme des ordres des contacts des branches d’un méme cycle entre elles et la somme analogue pour un cycle corrélatif diffèrent entre elles comme les demi-ordres des deux cycles. ;

69. Prenons maintenant deux cycles, comme au n° 65. Le calcul du n° 67 fait voir que les développements relatifs à ces deux cycles en coordonnées tangentielles donnent lieu à deux déterminations dont les différences sont de l’ordre

2( Si S2 Si K ) + LUI + —— + HE ———— + ——— ( Le VEUVE LE RO EEE TE (1 DE Bar me LE Ve EN DRnere EPA

HR + —— X7 7 Adi 19142 Ld1-.-di Ldi-.-qi

Le nombre K se conserve donc en coordonnées tangentielles avec la même signification. Si l’on se reporte à l'expression de $, on voit que ce nombre se conserve aussi; par conséquent : la somme des ordres des contacts des branches de deux cycles différents et la somme

analogue pour deux cycles corrélatifs sont égales entre elles.

70. Le premier problème à la solution duquel nous allons appliquer les notions qui précèdent est celui-ci : L’équation d’une courbe étant donnée en coordonnées ponctuelles, et les points multiples étant connus, trouver la classe de la courbe sans former l’équation en coordonnées tangentielles.

Les points de contacts des tangentes menées d’un point & sont les

s ; ; : ee : du zéros, variables avec ce point, pour le covariant différentiel QU): /

Soit f(U;, Us, U3) — 0 l'équation de la courbe; les trois coordonnées

* du tangentelles { u — dt

Au covariant différentiel, on peut donc substituer le covariant fini 0 0 () A De Da of

Oo A - ou; OU du;

| sont proportionnelles aux dérivées partielles de f.

polaire du point x. Pour préciser les coordonnées, nous les suppose-

rons liées par une relation linéaire. Sous cette convention, F est un covariant absolu ; il reste absolument invariable si l’on change les coordonnées. Pour cette raison, on peut supposer les points à coordonnées infinies situés sur une droite arbitrairement choisie. En appliquant à F la proposition générale du n° 27, nous aurons donc, pour la somme des ordres de F répondant aux coordonnées infinies, le nombre — m(m —1), où m est le degré de la courbe proposée. Relativement à un cycle, dont l’origine a des coordonnées finies, l’ordre de F diffère de zéro, quel que soit le point 4, dans le cas où

les trois dérivées partielles sont nulles à l’origine de ce cycle. C’est

précisément là le caractère des points singuliers. Prenons un tel point et, pour calculer l’ordre de F relativement à un des cycles, choisissons les coordonnées uw, et w, nulles à l’origine, et pour w; — 0 prenous la tangente de ce cycle. Faisons, de plus, w,— 1. Ces suppositions sont permises, comme on l’a vu tout à l’heure. Nous mettrons maintenant x et y au lieu de u,, us.

D’après les hypothèses, c’est la dérivée . dont l’ordre est le plus petit. Ceci résulte du calcul fait au n° 6, en vertu de la proportionnalité des dérivées partielles et des coordonnées tangentielles.

Pour calculer l’ordre de F relativement au cycle (C), il suffit (n° 27) de substituer dans F le développement d’une détermination de y suivant la puissance de x, de prendre le degré de la partie principale, et de multipler par l’ordre du cycle.

Soient y’, Y , Y , ... tous les développements de y suivant les puissances croissantes de x, valables aux environs de x —0. Nous

pouvons écrire D AE A one rm 0 M et 0

d’où résulte, pour y = y",

DES RÉ I) ENETET D)

Si y’ est une des déterminations appartenant à (C), nous avons à prendre ainsi la somme des degrés des parties principales de toutes les différences (y'— y"), (y — 3"), ... et à multiplier cette somme par l’ordre du cycle.

Le résultat se compose donc : 1° du nombre 2T, calculé au n° (67),

et relatif au cycle (GC); 2° de la somme des nombres $S, calculés au n° 65, relatifs au cycle (C) combiné avec tous ceux qui ont la même origine.

Soient (Go), (Cu), (G>), ... les divers cycles de même origine, T,, Ti, To, ..., Sos, -.., So, .… les nombres qui sont relatifs à ces cycles. L'ordre de F relativement à (GC) est 2T;+ S,, + Sosa... La somme des ordres de F relativement à (G,}, (CG), (G2), ... est donc

2(To + Ti To+... + Soi + Soo + Syo +...)

Considérant de même tous les points singuliers, on aura finalement, en ajoutant tous les résultats, cette expression de la classe u :

Les nombres T se rapportent à tous les cycles d'ordre différent de l’unité; les nombres S aux combinaisons deux à deux de tous les cycles ayant des origines communes. Au lieu des nombres T, S, on peut introduire les nombres $, €, et écrire

= mms) -Ÿ nn —2Ù nonm-2d(6+5). :

En appelant N=nç,+ n,+ 7: +... l'ordre de muluiplicité d’un point singulier, origine de divers cycles d'ordres ñn5, 1, Ro, .

NON = n(n —1) + > TE}:

ue mm 1) =Ù N(N —1)—2Ù (T + 5).

++, ON à «

donc enfin

N est l’ordre de multiplicité d'un point, et N (5 + €) la somme des

ordres des contacts de toutes les branches de courbes deux à deux. Telle est la formule demandée, dans sa plus grande généralité. Un point.double ordinaire apporte à celte formule l’élément

NON —:1) =, +S—o;

il abaisse la classe de deux unités.

Un rebroussement ordinaire donne