NIN—1)=; 2(® + S
il abaisse la classe de trois unités.
92 s OEUVRES DE G.-H. HALPHEN. ”
11. Prenons la formule corrélative, et, remarquant que S s? ÿ conserve (n° 69), nous aurons
m= pur) TN — 1) —2Ÿ (6 +)
fa première sommation, dans cette dernière formule, ne se rapporte pas à tous les mêmes éléments que la première sommation de la première formule. Mais, dans les deux formules, les secondes sommations s'appliquent de part et d’autre aux mêmes éléments, les couples de branches tangentes entre elles.
Combinant les deux formules et tenant compte de la relation entre € et € (n° 68), nous aurons
pme XX —n— ST NN—-n+Ÿ (2)
et, en employant la relation (22), u(u— 3) — m(m —3) >: (IR —1)—Ù N(N—:)
Cette dernière formule, remarquable par sa généralité, contient l’ordre de multiplicité N de chaque point singulier, et celui % de chaque tangente singulière. N est la somme des ordres des cycles ayant une commune origine; JC la somme des classes des cycles ayant une commune tangente (!). |
APPLICATION. — Soit la courbe considérée au n° 33
2(yz — æ1)}?= 5.
Pourlépont r=# 0, NN OR De 7 Pour le point HET NON ESS (GONE:
Donc u — m — 5, comme on l’a trouvé autrement. 72. La recherche du nombre des intersections confondues en un
point singulier, commun à deux courbes, constitue le dernier problème dont nous ayons à chercher la solution. Le raisonnement à
(1) Cette formule a été trouvée par M. Zeuthen, QUE le mémoire qui clôt la liste placée en tête de cette étude.
LES no
a #s 2e ESS ARTS ET AT TR TON eee EP UE RTE LEE PSE QC PAT TC > A DV A dis =. ù .
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appliquer est le même que pour le problème précédent : au lieu de la
polaire, il faut envisager le premier membre de l'équation d’une des courbes, et l’on a immédiatement la solution suivante : le nombre cherché est la somme des quantités S calculées en accouplant chaque cycle d’une des courbes avec chaque cycle de l’autre courbe. D’après la signification de la quantité $, on peut dire que le nombre des intersections de deux courbes, réunies en un point, est égal au produit des ordres de multiplicité de ce point sur l’une et l’autre courbe, augmenté de la somme des ordres des contacts qu'ont les branches d’une courbe avec les branches de l’autre en ce même point. |
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